例2. (2005年南京市金陵中学质量检测)如图2甲所示，一个足够长的“U”形金属导轨NMPQ固定在水平面内，MN、PQ两导轨间的宽为L＝0.50m。一根质量为m＝0.50kg的均匀金属导体棒ab静止在导轨上且接触良好，abMP恰好围成一个正方形。该轨道平面处在磁感应强度大小可以调节的竖直向上的匀强磁场中。ab棒的电阻为R＝0.10Ω，其他各部分电阻均不计。开始时，磁感应强度。

图2

(1)若保持磁感应强度的大小不变，从t＝0时刻开始，给ab棒施加一个水平向右的拉力，使它做匀加速直线运动。此拉力F的大小随时间t变化关系如图2乙所示。求匀加速运动的加速度及ab棒与导轨间的滑动摩擦力。

(2)若从t＝0开始，使磁感应强度的大小从B₀开始使其以＝0.20T/s的变化率均匀增加。求经过多长时间ab棒开始滑动？此时通过ab棒的电流大小和方向如何？(ab棒与导轨间的最大静摩擦力和滑动摩擦力相等)

解析：(1)当t＝0时，

当t＝2s时，F₂＝8N

联立以上式得：

(2)当时，为导体棒刚滑动的临界条件，则有：

则

例1. (2005年河南省实验中学预测题)如图1所示，，电压表与电流表的量程分别为0-10V和0-3A，电表均为理想电表。导体棒ab与导轨电阻均不计，且导轨光滑，导轨平面水平，ab棒处于匀强磁场中。

图1

(1)当变阻器R接入电路的阻值调到30，且用＝40N的水平拉力向右拉ab棒并使之达到稳定速度时，两表中恰好有一表满偏，而另一表又能安全使用，则此时ab棒的速度是多少？

(2)当变阻器R接入电路的阻值调到，且仍使ab棒的速度达到稳定时，两表中恰有一表满偏，而另一表能安全使用，则此时作用于ab棒的水平向右的拉力F₂是多大？

解析：(1)假设电流表指针满偏，即I＝3A，那么此时电压表的示数为U＝＝15V，电压表示数超过了量程，不能正常使用，不合题意。因此，应该是电压表正好达到满偏。

当电压表满偏时，即U₁＝10V，此时电流表示数为

设a、b棒稳定时的速度为，产生的感应电动势为E₁，则E₁＝BLv₁，且E₁＝I₁(R₁+R_并)＝20V

a、b棒受到的安培力为

F₁＝BIL＝40N

解得

(2)利用假设法可以判断，此时电流表恰好满偏，即I₂＝3A，此时电压表的示数为＝6V可以安全使用，符合题意。

由F＝BIL可知，稳定时棒受到的拉力与棒中的电流成正比，所以

。

2. (上海徐汇区诊断)如图7所示，质量分别为M和m(M>m)的小物体用轻绳连接；跨放在半径为R的光滑半圆柱体和光滑定滑轮B上，m位于半圆柱体底端C点，半圆柱体顶端A点与滑轮B的连线水平。整个系统从静止开始运动。设m能到达圆柱体的顶端，试求：

(1)m到达圆柱体的顶端A点时，m和M的速度。

(2)m到达A点时，对圆柱体的压力。

图7

答案：(1)

(2)

例3. 如图3所示，细绳绕过两个定滑轮A和B，在两端各挂一个重为P的物体，现在A、B的中点C处挂一个重为Q的小球，Q<2P，求小球可能下降的最大距离h。已知AB的长为2L，不计滑轮和绳之间的摩擦力及绳的质量。

图3

解析：选小球Q和两重物P构成的整体为研究对象，该整体的速率从零开始逐渐增为最大，紧接着从最大又逐渐减小为零(此时小球下降的距离最大为h)，如图4在整个过程中，只有重力做功机械能守恒。

图4

因重为Q的小球可能下降的最大距离为h，所以重为P的两物体分别上升的最大距离均为。

考虑到整体初、末位置的速率均为零，故根据机械能守恒定律知，重为Q的小球重力势能的减少量等于重为P的两个物体重力势能的增加量，即。

从而解得

[模型要点]

“滑轮”模型的特点为滑轮两侧的受力大小相等，在处理功能问题时若力发生变化，通常优先考虑能量守恒规律，也可采用转化法求解。

[误区点拨]

注意“死杆”和“活杆”问题。

如：(2006年无锡统考)如图(a)轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为M₁的物体。∠ACB=30°；图(b)中轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向也成30°，轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为M₂的物体，求细绳AC段的张力F_TAC与细绳EG的张力F_TEG之比？

图5

解析：图(a)中绳AC段的拉力F_TAC＝M₁g

图(b)中由于F_TEGsin30°=M₂g，解得：

[模型演练]

1. 在图6所示的装置中，绳子与滑轮的质量不计，摩擦不计，悬点a与b之间的距离远大于两轮的直径，两个物体的质量分别为m₁和m₂，若装置处于静止状态，则下列说法错误的是(　　 )

A. 可以大于

B. 必定大于

C. 必定等于

D. 与必定相等

答案：C

图6

例2. 如图2所示在车厢中有一条光滑的带子(质量不计)，带子中放上一个圆柱体，车子静止时带子两边的夹角∠ACB=90°，若车厢以加速度a=7.5m/s²向左作匀加速运动，则带子的两边与车厢顶面夹角分别为多少？

图2

解析：设车静止时AC长为，当小车以向左作匀加速运动时，由于AC、BC之间的类似于“滑轮”，故受到的拉力相等，设为F_T，圆柱体所受到的合力为ma，在向左作匀加速，运动中AC长为，BC长为

由几何关系得

由牛顿运动定律建立方程：

代入数据求得

说明：本题受力分析并不难，但是用数学工具解决物理问题的能力要求较高。

例1. (2005年烟台市检测题)如图1所示，将一根不可伸长、柔软的轻绳左、右两端分别系于A、B两点上，一物体用动滑轮悬挂在轻绳上，达到平衡时，两段绳子间的夹角为，绳子张力为；将绳子右端移到C点，待系统达到平衡时，两段绳子间的夹角为，绳子张力为；将绳子右端再由C点移到D点，待系统达到平衡时，两段绳子间的夹角为，绳子张力为，不计摩擦，并且BC为竖直线，则(　　 )

A. 　　　　　　　　　　　　　 B.

C. 　　　　　　　　　　　　 D.

图1

解析：由于跨过滑轮上绳上各点的张力相同，而它们的合力与重力为一对平衡力，所以从B点移到C点的过程中，通过滑轮的移动，，再从C点移到D点，肯定大于，由于竖直方向上必须有，所以。故只有A选项正确。

例4. 用轻弹簧相连的质量均为2kg的A、B两物块都以的速度在光滑的水平地面上运动，弹簧处于原长，质量为4kg的物体C静止在前方，如图3所示，B与C碰撞后二者粘在一起运动。求：在以后的运动中，

图3

(1)当弹簧的弹性势能最大时物体A的速度多大？

(2)弹性势能的最大值是多大？

(3)A的速度有可能向左吗？为什么？

解析：(1)当A、B、C三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大，由于A、B、C三者组成的系统动量守恒，有

解得：

(2)B、C碰撞时B、C组成的系统动量守恒，设碰后瞬间B、C两者速度为，则

设物块A速度为v_A时弹簧的弹性势能最大为E_P，根据能量守恒

(3)由系统动量守恒得

设A的速度方向向左，，则

则作用后A、B、C动能之和

实际上系统的机械能

根据能量守恒定律，是不可能的。故A不可能向左运动。

［模型要点］

系统动量守恒，如果弹簧被作为系统内的一个物体时，弹簧的弹力对系统内物体做不做功都不影响系统的机械能。能量守恒，动能与势能相互转化。

弹簧两端均有物体：弹簧伸长到最长或压缩到最短时，相关联物体的速度一定相等，弹簧具有最大的弹性势能。

当弹簧恢复原长时，相互关联物体的速度相差最大，弹簧对关联物体的作用力为零。若物体再受阻力时，弹力与阻力相等时，物体速度最大。

［模型演练］

(2006年江苏省前黄高级中学检测题)如图4所示，在光滑水平长直轨道上，A、B两小球之间有一处于原长的轻质弹簧，弹簧右端与B球连接，左端与A球接触但不粘连，已知，开始时A、B均静止。在A球的左边有一质量为的小球C以初速度向右运动，与A球碰撞后粘连在一起，成为一个复合球D，碰撞时间极短，接着逐渐压缩弹簧并使B球运动，经过一段时间后，D球与弹簧分离(弹簧始终处于弹性限度内)。

图4

(1)上述过程中，弹簧的最大弹性势能是多少？

(2)当弹簧恢复原长时B球速度是多大？

(3)若开始时在B球右侧某位置固定一块挡板(图中未画出)，在D球与弹簧分离前使B球与挡板发生碰撞，并在碰后立即将挡板撤走，设B球与挡板碰撞时间极短，碰后B球速度大小不变，但方向相反，试求出此后弹簧的弹性势能最大值的范围。

答案：(1)设C与A相碰后速度为v₁，三个球共同速度为v₂时，弹簧的弹性势能最大，由动量守恒，能量守恒有：

(2)设弹簧恢复原长时，D球速度为，B球速度为

则有

(3)设B球与挡板相碰前瞬间D、B两球速度

与挡板碰后弹性势能最大，D、B两球速度相等，设为

当时，最大

时，最小，

所以

例3. 图2中，轻弹簧的一端固定，另一端与滑块B相连，B静止在水平直导轨上，弹簧处在原长状态。另一质量与B相同滑块A，从导轨上的P点以某一初速度向B滑行，当A滑过距离l₁时，与B相碰，碰撞时间极短，碰后A、B紧贴在一起运动，但互不粘连。已知最后A恰好返回出发点P并停止，滑块A和B与导轨的滑动摩擦因数都为，运动过程中弹簧最大形变量为l₂，重力加速度为g，求A从P出发时的初速度v₀。

图2

解析：令A、B质量皆为m，A刚接触B时速度为v₁(碰前)

由功能关系，有

A、B碰撞过程中动量守恒，令碰后A、B共同运动的速度为v₂

有

碰后A、B先一起向左运动，接着A、B一起被弹回，在弹簧恢复到原长时，设A、B的共同速度为v₃，在这一过程中，弹簧势能始末状态都为零，利用功能关系，有

此后A、B开始分离，A单独向右滑到P点停下，由功能关系有

由以上各式，解得

例2. 在原子核物理中，研究核子与核子关联的最有效途径是“双电荷交换反应”。这类反应的前半部分过程和下述力学模型类似，两个小球A和B用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态，在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板P，右边有一小球C沿轨道以速度v₀射向B球，如图1所示，C与B发生碰撞并立即结成一个整体D，在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变，然后，A球与挡板P发生碰撞，碰后A、D都静止不动，A与P接触而不粘连，过一段时间，突然解除锁定(锁定及解除锁定均无机械能损失)，已知A、B、C三球的质量均为m。

图1

(1)求弹簧长度刚被锁定后A球的速度。

(2)求在A球离开挡板P之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能。

解析：(1)设C球与B球粘结成D时，D的速度为v₁，由动量守恒得当弹簧压至最短时，D与A的速度相等，设此速度为v₂，由动量守恒得，由以上两式求得A的速度。

(2)设弹簧长度被锁定后，贮存在弹簧中的势能为E_P，由能量守恒，有撞击P后，A与D的动能都为零，解除锁定后，当弹簧刚恢复到自然长度时，势能全部转弯成D的动能，设D的速度为v₃，则有

以后弹簧伸长，A球离开挡板P，并获得速度，当A、D的速度相等时，弹簧伸至最长，设此时的速度为v₄，由动量守恒得

当弹簧伸到最长时，其势能最大，设此势能为E_P'，由能量守恒，有解以上各式得。

说明：对弹簧模型来说“系统具有共同速度之时，恰为系统弹性势能最多”。

例1. 在光滑水平地面上有两个相同的弹性小球A、B，质量都为m，现B球静止，A球向B球运动，发生正碰。已知碰撞过程中总机械能守恒，两球压缩最紧时的弹性势能为E_P，则碰前A球的速度等于(　　 )

A. 　　　　　　 B. 　　　　　 C. 　　　　　 D.

解析：设碰前A球的速度为v₀，两球压缩最紧时的速度为v，根据动量守恒定律得出，由能量守恒定律得，联立解得，所以正确选项为C。