2. 下列各句中，没有语病的一句是(3分)

　 A. 厂家认为，电动车之所以“超标”的原因，是因为时速20公里，已经不能满足使用者的要求；40公斤的车辆配备的电池，最多跑20公里，连基本出行都非常不便。

　 B. 端午节已是中国的法定节日，然而在我国内地的很多大城市已经难见赛龙舟的景象，倒是繁荣的国际大都市香港却还保留着五月五赛龙舟以纪念伟大的爱国诗人屈原。

　 C. 奥巴马一到中国就与青年人展开对话，介绍美国政府的对外政策及他本人，这似乎印证了美国媒体的观点：奥巴马对华政策成败与否的关键是能否赢得中国的青年人。

　 D. 上海世博会是由中国政府主办的国际性大型博览会，它以“城市，让生活更美好”为主题，目前已有240多个国家和国际组织确认参展，创下158年世博史的最高纪录。

1. 下列词语中加点的字，每对读音都不相同的一组是(3分)

A. 着眼/着装完毕　　铜臭/遗臭万年　　攒射/人头攒动

B. 重创/抚平创痛　　丈量/计量单位　　数落/数见不鲜

C. 偏裨/大有裨益　　呜咽/狼吞虎咽　　吭声/引吭高歌

D. 慰藉/杯盘狼藉　　落枕/丢三落四　　薄暮/厚古薄今

　 与　

是互素的合数．(这里与分别表示有限数集的所有元素之和及元素个数．)

证 我们用表示有限数集X中元素的算术平均．

第一步，我们证明，正整数的n元集合具有下述性质：对的任意两个不同的非空子集A，B，有．

证明：对任意，，设正整数k满足

　　　　　　　　　　　 ，　　　　　　　　　　　　 ①

并设l是使的最小正整数．我们首先证明必有．

　 事实上，设是A中最大的数，则由，易知A中至多有个元素，即，故．又由的定义知，故由①知．特别地有．

此外，显然，故由l的定义可知．于是我们有．

若，则；否则有，则

　　　　 ．

由于是A中最大元，故上式表明．结合即知．

现在，若有的两个不同的非空子集A，B，使得，则由上述证明知，故，但这等式两边分别是A，B的元素和，利用易知必须A=B，矛盾．

第二步，设K是一个固定的正整数，，我们证明，对任何正整数x，正整数的n元集合具有下述性质：对的任意两个不同的非空子集A，B，数与是两个互素的整数．

事实上，由的定义易知，有的两个子集，满足，，且

　　　　　 ．　　　　　　 ②

显然及都是整数，故由上式知与都是正整数．

现在设正整数d是与的一个公约数，则是d的倍数，故由②可知，但由K的选取及的构作可知，是小于K的非零整数，故它是的约数，从而．再结合及②可知d=1，故与互素．

第三步，我们证明，可选择正整数x，使得中的数都是合数．由于素数有无穷多个，故可选择n个互不相同且均大于K的素数．将中元素记为，则，且(对)，故由中国剩余定理可知，同余方程组

，

有正整数解．

　　 任取这样一个解x，则相应的集合中每一项显然都是合数．结合第二步的结果，这一n元集合满足问题的全部要求．

解 当为奇数时，存在合乎要求的染法；当为偶数时，不存在所述的染法。

每3个顶点形成一个三角形，三角形的个数为个，而颜色的三三搭配也刚好有种，所以本题相当于要求不同的三角形对应于不同的颜色组合，即形成一一对应．

我们将多边形的边与对角线都称为线段．对于每一种颜色，其余的颜色形成种搭配，所以每种颜色的线段(边或对角线)都应出现在个三角形中，这表明在合乎要求的染法中，各种颜色的线段条数相等．所以每种颜色的线段都应当有条．

当为偶数时，不是整数，所以不可能存在合乎条件的染法．下设为奇数，我们来给出一种染法，并证明它满足题中条件．自某个顶点开始，按顺时针方向将凸边形的各个顶点依次记为．对于，按理解顶点．再将种颜色分别记为颜色．

将边染为颜色，其中．再对每个，都将线段(对角线)染为颜色，其中．于是每种颜色的线段都刚好有条．注意，在我们的染色方法之下，线段与同色，当且仅当

．　　 　　　　　　①

因此，对任何，任何，线段都不与同色．换言之，如果

．　　　　　　　　 ②

则线段都不与同色．

任取两个三角形和，如果它们之间至多只有一条边同色，当然它们不对应相同的颜色组合．如果它们之间有两条边分别同色，我们来证明第3条边必不同颜色．为确定起见，不妨设与同色．

情形1：如果与也同色，则由①知

，　

，　

将二式相减，得，故由②知不与同色．

情形2：如果与也同色，则亦由①知

，　

，　

将二式相减，亦得，亦由②知与不同色．总之，与对应不同的颜色组合．　

解 不妨设，则对，有

，

所以　　　

　　　　　　　　 ．

当n为奇数时，　 ．

当n为偶数时，　

　　　　　　　　　　　　　　　　 ．

所以，当n为奇数时，，当n为偶数时，，等号均在时成立．

因此，的最小值为(n为奇数)，或者(n为偶数)．

解 先证一个引理：顶点在P中的凸m边形至多有两个锐角，且有两个锐角时，这两个锐角必相邻．

事实上，设这个凸边形为，只考虑至少有一个锐角的情况，此时不妨设，则

，

更有．

而+，故其中至多一个为锐角，这就证明了引理．

由引理知，若凸边形中恰有两个内角是锐角，则它们对应的顶点相邻．

在凸边形中，设顶点与为两个相邻顶点，且在这两个顶点处的内角均为锐角．设与的劣弧上包含了的条边()，这样的在固定时恰有对．

(1) 若凸边形的其余个顶点全在劣弧上，而劣弧上有个中的点，此时这个顶点的取法数为．

(2) 若凸边形的其余个顶点全在优弧上，取，的对径点，，由于凸边形在顶点，处的内角为锐角，所以，其余的个顶点全在劣弧上，而劣弧上恰有个中的点，此时这个顶点的取法数为．

所以，满足题设的凸边形的个数为

　　　　　　　　　　 ．

解：若，不妨设，则，故．

由Fermat小定理， ，得，即．易验证素数对不合要求，，合乎要求．

若为奇数且，不妨设，则，故．

当时素数对合乎要求，当时，由Fermat小定理有，故．由于为奇素数，而626的奇素因子只有313，所以．经检验素数对合乎要求．

若都不等于2和5，则有，故

．　　　　　　　　 ①

由Fermat小定理，得　　　　 　，　　　　　　　　 ②

故由①，②得

．　　　　　　　　　 ③

设，， 其中为正整数．

若，则由②，③易知

，

这与矛盾！所以．

同理有，矛盾！即此时不存在合乎要求的．

综上所述，所有满足题目要求的素数对为

，，，，，及．

(1)若A，B，C，D四点共圆，求证：；

(2)若 ，是否一定有A，B，C，D四点共圆？证明你的结论．

解(1)设Q，R分别是OB，OC的中点，连接EQ，MQ，FR，MR，则

，

又OQMR是平行四边形，所以

，

由题设A，B，C，D四点共圆，所以

，

于是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 图1

　　　　　　　 ，

所以　　　　 ，

故　　　　　　　　　　　 ，

所以　　　　　　　　　　　 EM＝FM，

同理可得　　　　　　　　　 EN＝FN，

所以　　　　　　　　　 ．

(2)答案是否定的．

当AD∥BC时，由于，所以A，B，C，D四点不共圆，但此时仍然有，证明如下：

如图2所示，设S，Q分别是OA，OB的中点，连接ES，EQ，MQ，NS，则

，

所以　　　　　　　　　　　　 ．　　　　　　　　　　　　　 ①

又，所以

．　　　　　　　　　 　　　　②

而AD∥BC，所以

，　　　　　　　　　　　　　 ③

由①，②，③得　　　　　　 ．

因为　　　 ，

　　　 ，

即　　　　　　　　　　　　 ，

所以　　　　　　　　　　　 -，

故　　　　　　　　　　 (由②)．

同理可得，　　　　　　　　 ，

所以　　　　　　　　　　　　 ，

从而　　　　　　　　　 ．

3．结合材料，面对国际金融危机，我国政府应采取哪些措施进一步扩大内需，刺激消费?　 4分

2．请你从生产与消费关系的角度谈谈我国为什么要把扩大内需作为保经济增长的根本途径？ 4分