1.用导数研究函数的单调性。在区间内可导，若>0，则在上递增;若<0，则在上递减. 注意：为正(负)是函数递增(减)充分不必要条件。如果函数f(x)在区间(a,b)内可导且不是常函数，上述结论可以改进为：f(x)在区间(a,b)上单调递增≥0在(a,b)上恒成立；f(x)在区间(a,b)上单调递减≤0在(a,b)上恒成立

[举例1]已知函数若在是增函数，求实数的范围。

解析：≥0在上恒成立在上恒成立

而在上的最小值为16，故。

[举例2]已知定义在R上的函数y=f(x)的导函数f^/(x)在R上也可导，且其导函数[f^/(x)]^/<0，

则y=f(x)的图象可能是下图中的　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 C　 )

A．①②　　　 B．①③　　 C．②③　　　 D．③④

解析：由[f^/(x)]^/<0知f^/(x)在R上递减，即函数y=f(x)的图象上从左到右各点处的切线斜率递减，不难看出图象②③满足这一要求。

[举例3] f(x)是定义在(0，+∞)上的非负可导函数，且满足xf^/(x)+f(x)≤0,对任意正数a、b,若a＜b，则必有　　　　　　　　　　 (　　 )　 (07陕西理11)

A.af(b) ≤bf(a)　　　　　　　　　　　　　　　 B.bf(a) ≤af(b)

C.af(a) ≤f(b)　　　　　　　　　　　　 　　　　D.bf(b) ≤f(a)

解析：xf^/(x)+f(x)≤0[xf(x)]^/ ≤0函数F(x)= xf(x) 在(0，+∞)上为常函数或递减，

又0<a＜b且f(x)非负，于是有：af(a)≥bf(b)≥0　 ①　　 　　②

①②两式相乘得： af(b) ≤bf(a)，故选A。

注：本题的难点在对不等式②的设计，需要经验更需要灵感。

[巩固1]函数在)上递增，的取值范围是　　　 。

[巩固2设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是(　　 )　　 (07浙江理8)

[巩固3]函数f(x)、g(x)在R上可导，且f^/(x)>g^/(x),若a>b，则　　　　　　　 (　　 )

A．f(a)>g(b)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．g(a)<f(b)

C．f(a) -f(b) <g(a)- g(b)　　　　　　　　　　　　　　 D．f(a) -f(b) >g(a)- g(b)

4、注意区分“求曲线上过点M的切线”与“求曲线上在点M处的切线”；

前者只要求切线过M点，M点未必是切点；而后者则很明确，切点就是M点。

[举例]求函数y=x³-3x²+x的图象上过原点的切线方程

解析：易见O(0，0)在函数y=x³-3x²+x的图象上，y^’=3x²－6x+1,但O点未必是切点。

设切点A(x₀,y₀)∵y^’=3x²－6x+1, ∴切线斜率为3x₀²－6x₀+1,又切线过原点，∴=3x₀²－6x₀+1即：y₀=3x₀³－6x₀²+x₀　　　　 ①　　　　　　

又∵切点A(x₀,y₀)y=x³-3x²+x的图象上∴y₀=x₀³－3x₀²+x₀ ②　　　　　　

　由①②得：x₀ =0或x₀ =，∴切线方程为：y=x或5x+4y=0

点评：一般地,过三次曲线的对称中心(不难证明三次曲线一定是中心对称图形，且对称中心在曲线上)的切线有且仅有一条；而过三次曲线上除对称中心外的任一点的切线有二条。以下给出简单证明(不要求学生掌握)：由于三次曲线都是中心对称曲线，因此，将其对称中心移至坐标原点便可将三次函数的解析式简化为。若M(x₁，y₁)是三次曲线上的任一点，设过M的切线与曲线y=f(x)相切于(x₀，y₀)，则切线方程为，因点M上此切线上，故，又，所以，整理得：，解得，或。 当点M是对称中心即=

-=0时，过点M作曲线的切线切点是惟一的，且为M，故只有一条切线；当点M不是对称中心即时，过点M作曲线的切线可产生两个不同的切点，故必有两条切线，其中一条就是以M为切点(亦即曲线在点M处)的切线。

[巩固] 曲线上过点的切线方程是　　　　 ．

3．函数在处的导数的几何意义：曲线在其上点，处的切线的斜率。用导数研究切线问题，切点是关键(切点在切线上、切点在曲线上、切点横坐标的导函数值为切线斜率)。

[举例1]曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(　)

A．　　　　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D． (07高考海南理10)

解析：，则]曲线在点处的切线斜率为：，

　∴切线方程为：，它与坐标轴的交点分别为：(2，0)，(0，-)；

∴切线与坐标轴所围三角形的面积为：，选D。

[举例2]函数的图象在点P处的切线方程是：，若点P的横坐标为5，

则=　　　　　 。

解析：本题没有函数表达式，但有切线方程，注意到“切点在切线上”，

∴P(5，3)；又“切点在曲线上”，∴；而曲线在点P处的切线斜率为，

即=-1，故=2。

[举例3]已知直线与抛物线相切，则

解析：本题固然可以将直线方程带入抛物线方程中，使得到的一元二次方程的判别式=0，

从而求出的值；但这种做法只限于二次曲线，若将抛物线换成其它的非二次曲线，则此路不通。以下用“导数”求解：“切点”是关键，记切点P(，)，，则有：

　(切点在切线上)①；　 (切点在曲线上)②

=1　 (切点横坐标的导函数值为切线斜率)③；由①②③解得：。

[巩固1]已知函数的图象在点处的切线方程是，则＿＿＿＿．(07高考湖北文13)

[巩固2]点P是曲线上的动点，设点P处切线的倾斜角为，则的取值范围是A、　 B、　 C、　 D、

[巩固3]若直线y=x是曲线y=x³-3x²+ax的切线，则a=___________

2．常用导数公式：,,，；

导数的运算法则：若函数与的导数存在，则,

，；

(这个公式很容易记错，注意和“积的导数”对比)；

复合函数的导数：由与=得到复合函数，则=.。

[举例1]已知，则=　　　　 。

解析：是常数，∴=3+2-1= -2

∴，故=3。

[举例2]，=　　 。

解析：本题可以用“倒序相加”法，也可以用“通项变化”法(k= n)；这里，我们观察　 ①，不难发现其通项求导后的系数正是所求“项”；故考虑对①式两边同求导数，得：

，令=1得：

=

[巩固1] 已知．令，则=　　　 。

[巩固2]已知函数，则的值为：

A．　　 　　B．　　　 C．　　　 D．

1．叫函数在处的导数，记作 。

注：①函数应在点的附近有定义，否则导数不存在。②在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可能为0。③是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点(，)及点(+，

)的割线斜率。④导数是函数在点的处瞬时变化率，它反映的函数在点处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线上点(，)处的切线的斜率。⑤若极限不存在，则称函数在点处不可导。⑥如果函数在开区间内每一点都有导数，则称函数在开区间内可导；此时对于每一个∈，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数，称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数；导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。

[举例1]若，则等于：

　 (A) -1　　　　　 (B) -2　　　　　 　(C) 1　　　　　　　 (D) 1/2

解析：∵，即=2=-1。

[举例2] 已知为正整数设，证明

解析：本题可以对展开后“逐项”求导证明；这里用导数的定义证明：

=

=

=

=。

[巩固1]一质点作曲线运动，它的位移S与时间t的关系为： ，试用导数的定义求t =3时的速度。

[巩固2]设C是成本，q是产量，成本与产量的函数关系式为C＝C(q)，当产量为时，产量变化对成本的影响可用增量比刻划.　如果无限趋近于0时，无限趋近于常数A，经济学上称A为边际成本.　它表明当产量为时，增加单位产量需付出成本A(这是实际付出成本的一个近似值)。设生产x个单位产品的总成本函数是C(x)＝8+，则生产8个单位产品时，边际成本是：　　 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．2　　　　　　　　　　　　　　　　 B．8　　　　　　　　　　　 C．10　　　　　　　　　　　　　 D．16

25、14-16世纪的西欧文学与中国明末清初的文学都体现了反封建、追求个性解放的时代特征。下列作品能体现该特征的是(　　　 )

　　　 ①《神曲》　　　　　　　 ②《十日谈》　　　　　 ③《三国演义》　　　 ④《红楼梦》

　　 A．①②③　　　　 B．①②④　　　　 C．②③④　　　　 D．①②③④

第Ⅱ卷(非选择题　 共50分)

24、在下列自然科学成就中，影响远远超越其学科范围，扩展到社会和经济思想领域，并对中国近代民主思想产生了重要影响的是(　　　 )

　　 A．经典力学　　　 B．进化论　　　　 C．相对论　　　　 D．量子论