1.考察下列一组不等式： 　　　　.将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是　　　　　 .

2. 间接证明：间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法；反证法即从　　　　　 开始，经过正确的推理，说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法(归谬法).

例1．若均为实数，且。

求证：中至少有一个大于0。

答案：(用反证法)

假设都不大于0，即，则有，

而　　 =

∴均大于或等于0，，∴，这与假设矛盾，故中至少有一个大于0。

变式训练1：用反证法证明命题“可以被5整除，那么中至少有一个能被5整除。”那么假设的内容是　　　　　　　

答案：a,b中没有一个能被5整除。解析：“至少有n个”的否定是“最多有n-1个”。

例2. △ABC的三个内角A、B、C成等差数列，

求证：。

答案：证明：要证，即需证。

即证。

又需证，需证

∵△ABC三个内角A、B、C成等差数列。∴B=60°。

由余弦定理，有，即。

∴成立，命题得证。

变式训练2：用分析法证明：若a>0，则。

答案：证明：要证，

只需证。

∵a>0，∴两边均大于零，因此只需证

只需证，

只需证，只需证，

即证，它显然成立。∴原不等式成立。

例3．已知数列，，，．

记．．

求证：当时，

(1)；

(2)；

(3)。

解：(1)证明：用数学归纳法证明．

①当时，因为是方程的正根，所以．

②假设当时，，

因为

　　　　 　　　，

所以．

即当时，也成立．

根据①和②，可知对任何都成立．

(2)证明：由，()，

得．

因为，所以．

由及得，

所以．

(3)证明：由，得

所以，

于是，

故当时，，

又因为，

所以．

推理与证明章节测试题

1.直接证明：直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫直接证明；

直接证明的两种基本方法--分析法和综合法

⑴ 综合法 --　　　　　　 ；⑵分析法 --　　　　　　 ；

4.合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳和类比是合情推理常用的思维方法；在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有得于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到的新结论的推理过程．

例1. 已知：；

通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：

________________________________________=( * )并给出( * )式的证明.

解：一般形式:

证明：左边 = 　

　 =

=

= =

(将一般形式写成

等均正确。)

变式训练1：设，，n∈N，则　　　 　

解：，由归纳推理可知其周期是4

例2. 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，

按图所标边长，由勾股定理有：

　 设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O-LMN，如果用表示三个侧面面积，表示截面面积，那么你类比得到的结论是　　　　　　　　　　 .

解：。

变式训练2：在△ABC中，若∠C=90°，AC=b,BC=a，则△ABC的外接圆的半径，把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论。

答案：本题是“由平面向空间类比”。考虑到平面中的图形是一个直角三角形，

所以在空间中我们可以选取有3个面两两垂直的四面体来考虑。

取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体A-BCD，且AB=a，AC=b，AD=c，

则此三棱锥的外接球的半径是。

例3. 请你把不等式“若是正实数，则有”推广到一般情形，并证明你的结论。

答案： 推广的结论：若 都是正数，

证明： ∵都是正数　 ∴ ，

………，，

变式训练3：观察式子：，…，则可归纳出式子为(　 )

A、　　　　 B、

C、　　　　 D、

答案：C。解析：用n=2代入选项判断。

例4. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线

平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为　　　　　　 (　　 )

A.大前提错误　　 B.小前提错误　　　 C.推理形式错误　　　 D.非以上错误

答案：A。解析：直线平行于平面,并不平行于平面内所有直线。

变式训练4：“AC,BD是菱形ABCD的对角线，AC,BD互相垂直且平分。”补充以上推理的大前提是　　　　　　　　　 。

答案：菱形对角线互相垂直且平分

3.演绎推理：演绎推理是　　　　　　 ，按照严格的逻辑法则得到的　　　　　　　 推理过程；三段论常用格式为：①M是P，②　　　　　 ，③S是P；其中①是　　　　　 ，它提供了一个个一般性原理；②是　　　　　 ，它指出了一个个特殊对象；③是　　　　　 ，它根据一般原理，对特殊情况作出的判断.

2.合情推理包括　　　　　 和　　　　　 ；

归纳推理：从个别事实中推演出　　　　　　　　　 ，这样的推理通常称为归纳推理；归纳推理的思维过程是：　　　　　　 、　　　　　 、　　　　　　　 .

类比推理：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其它方面也　　　 或　　　　 ，这样的推理称为类比推理，类比推理的思维过程是：　　　　　　 、　　　　　 、　 　　　　　　.

1. 推理一般包括合情推理和演绎推理；

2．推理与证明与数列、几何、等有关内容综合在一起的综合试题多。

第1课时　 合情推理与演绎推理

了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

1．推理与证明的内容是高考的新增内容，主要以选择填空的形式出现。

2．了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。