10. (06年江苏卷)已知三点P(5，2)、(－6，0)、(6，0).　 (☆P₂₁ 例4)

(1)求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；(2)设点P、、关于直线y＝x的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。

解：(1)设所求椭圆方程为(a>b>0),其半焦距c=6，……(2分)……(4分)

∴,b²=a²-c²=9. 所以所求椭圆的标准方程为．　……(6分)

(2)点P(5,2)、F₁(-6,0)、F₂(6,0)关于直线y=x的对称点分别为点P^，(2，5)、F₁^，(0，-6)、F₂^，(0，6).　 ……(8分)

设所求双曲线的标准方程为，由题意知，半焦距c₁=6，

，,b₁²=c₁²-a₁²=36-20=16.

所以，所求双曲线的标准方程为．……(12分)

9. 点M是椭圆上的一点，F₁、F₂是左右焦点，∠F₁MF₂=60º，求△F₁MF₂的面积.

解：由，得a=8，b=6，.……(3分)

根据椭圆定义，有.……(5分)

在△F₁MF₂中，由余弦定理，得到

.

　即 ，……(7分)

，

解得.……(10分)

△F₁MF₂的面积为：.……(12分)

8. 在抛物线上求一点P，使得点P到直线的距离最短, 并求最短距离.

解：设与直线平行，且与抛物线相切的直线为.……(3分)

由， 消x得.……(5分)

∴ ，解得，即切线为.……(7分)

由，解得点. ……(9分)

∴ 最短距离.……(12分)

7. 已知椭圆C的焦点分别为F₁(，0)和F₂(2，0)，长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点. 求：(1)线段AB的中点坐标；　 (2)弦AB的长.

解：设椭圆C的方程为，由题意a=3，c=2，于是b==1. ……(3分)

∴ 椭圆C的方程为+y²＝1．……(5分)

联立方程组，消y得10x²+36x+27＝0，

因为该二次方程的判别式Δ＞0，所以直线与椭圆有两个不同的交点，……(9分)

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则x₁+x₂＝，故线段AB的中点坐标为()．……(12分)

6. 一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为52米，拱顶距离水面6.5米.

(1)建立如图所示的平面直角坐标系xoy，试求拱桥所在抛物线的方程；

(2)若一竹排上有一4米宽6米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥？

解：(1)设抛物线方程.……(2分)

　由题意可知，抛物线过点，代入抛物线方程，得

　 ， 解得，

所以抛物线方程为. ……(6分)

(2)把代入，求得. ……(9分)

而，所以木排能安全通过此桥. ……(12分)

5. 当从到变化时，方程表示的曲线的形状怎样变换？

解：当时，，方程表示圆心在原点的单位圆。……(3分)

当时，，方程表示圆心在原点的单位圆。……(5分)

当时，，方程，得表示与轴平行的两条直线。……(7分)

当时，，方程表示焦点在轴上的双曲线。……(9分)

当时，，方程表示焦点在轴上的等轴双曲线。……(12分)

4. 倾斜角为的直线l经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长. (◎P₆₁ 例4)

解：设，到准线的距离分别为，

由抛物线的定义可知，于是。……(3分)

由已知得抛物线的焦点为，斜率，所以直线方程为。……(6分)

将代入方程，得，化简得。由求根公式得，……(9分)

于是。所以，线段AB的长是8。……(12分)

3. 双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，求此双曲线的方程. (◎P₆₈ 4)

解：椭圆焦点为，根据题意得双曲线的焦点为，……(3分)

设双曲线的标准方程为，且有。……(6分)

又由，得，得，……(10分)

所求双曲线的方程为。……(2分)

2. 点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求M的轨迹.(◎P₄₁ 例6)

解：设是点到直线的距离，根据题意得，点的轨迹就是集合，……(4分)

由此得。将上式两边平方，并化简，得。即。……(9分)

所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆。. ……(12分)

1. 已知 , , 若的必要不充分条件，求实数的取值范围.　 (☆P₆ 9)

解：∵﹁p 是﹁q必要不充分条件，　 ∴ ，即.……(3分)

　解得，即：.　　 ……(6分)

解变形为，解得，

即.　　　　　　　　　　　　　　 ……(9分)

由，则，解得. 　

所以实数的取值范围。　　　　　　　　　 ……(12分)