4. (同上)考点：合情推理及证明

(1)若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积，根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为，则此四面体的体积V=　　　　 .

(2)(2003年全国卷)在平面几何里有勾股定理：“设的两边互相垂直，则.” 拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积之间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥的三侧面两两垂直，则　　　　　 .”

解：(1)设四面体内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以为底面的四个三棱锥体积的和.

所以，.

(2)线的关系类比到面的关系，猜测：. 证明如下：

如图作连，则.

3. 考点：合情推理及证明

已知，分别求，，，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.

解：由，得

；；

.

归纳猜想一般性结论为.

证明如下：

2. 考点：①会根据数据绘制列连表②能利用公式判断两个量之间的相关性(独立性检验)

甲乙两个班级均为40人，进行一门考试后，按学生考试成绩及格与不及格进行统计，甲班及格人数为36人，乙班及格人数为24人.

(1)根据以上数据建立一个的列联表；

(2)试判断是否成绩与班级是否有关？　 (◎P₁₇ 练习改编)

参考公式：；

解：(1)2×2列联表如下：

	不及格	及格	总计
甲班	4	36	40
乙班	16	24	40
总计	20	60	80

(2)

由，所以有99.5%的把握认为“成绩与班级有关系”.

1. 考点：①会画散点图②能利用公式求线性回归方程

某种产品的广告费用支出(万元)与销售额(万元)之间有如下的对应数据：

	2	4	5	6	8
	30	40	60	50	70

(1)画出散点图；

(2)求回归直线方程；

(3)据此估计广告费用为9万元时，销售收入的值．

参考公式：回归直线的方程，其中.

解：(1)作出散点图如下图所示：

(2)，，

_，，.

，．

因此回归直线方程为；

(3)时，预报的值为(万元)．

16.(2006年江西卷)已知函数在与时都取得极值，(☆P₄₉ 例2)

(1)求a、b的值与函数的单调区间.

(2)若对时，不等式恒成立，求c的取值范围.

解：(1)，.……(3分)

由，得a＝，b＝－2

，当x变化时，、的变化情况如下表：

x				1
	+	0	－	0	+
	­	极大值		极小值	­

函数的递增区间是(－¥，－)和(1，+¥)；递减区间是(－，1). ……(6分)

(2)＝x³－x²－2x+c　 ，……(8分)

又＝，， ，＝c+2.

　＝c+2为最大值. ……(10分)

要使在恒成立，只需＝c+2，解得c<－1或c>2. ……(12分)

答案整理：贺联梅

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15. ( 2005年全国卷III.文)用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大?最大容积是多少?　 (☆P₄₇ 例1)

解：设容器的高为x，容器的体积为V，……(1分)

则V=(90-2x)(48-2x)x，(0<x<24)……(5分)

　=4x³-276x²+4320x

∵V′=12 x²-552x+4320

令V′=12 x²-552x+4320=0得x₁=10，x₂=36. ……(8分)

∵令V′>0得x>36或x<10 ；令V′<0得10<x<36.

函数在上递增，在上递减. 当x=10时，V有极大值=19600.

又=0，=0，　　 所以当x=10时，V有最大值=19600cm.……(12分)

14. 已知a为实数，，(1)求导数；

(2)若，求在上的最大值和最小值；

(3)若在和上都是增函数，求a的取值范围.　 (☆P₄₅ 例3)

解：(1)因为=，所以.……(3分)

(2)由，得 ， 此时有　 所以……(5分)

由，得或,又因为，

所以在上的最大值为，最小值为.……(8分)

(3)的图象为开口向上且过点(0，-4)的抛物线.

由条件得　 即，解得. 所以的取值范围为.……(12分)

13.(06年福建卷)已知函数的图象在点处的切线方程为.

(1)求函数的解析式；(2)求函数的单调区间.　 (☆P₅₀ 8)

解：(1)，.……(2分)

又函数的图象在点处的切线方程为x+2y+5=0， ……(4分)

所求函数解析式为.……(6分)

(2)解得 ……(8分)

当或时， 当时，

在和内是减函数，在内是增函数. ……(12分)

12. 设函数.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)求函数f(x)的极大值和极小值.

解：∵ f′(x)=－x²+4x－3=－(x－3)(x－1), ……(2分)

(1)由f′(x)>0，解得：1<x<3；由f′(x)<0，解得：x<1或x>3，

则函数f(x)的单调递增区间为(1, 3)，单调递减区间为(－∞，1)和(3，+∞). ……(6分)

(2)由f′(x)=0，解得：x=1或x=3. 列表如下：……(9分)

x	(－∞，1)	1	(1, 3)	3	(3,+ ∞)
f′(x)	-	0	+	0	-
f(x)	单调递减↘	－	单调递增↗	0	单调递减 ↘

∴函数f(x)的极大值为0，极小值为－.……(12分)

11. 已知函数(为自然对数的底).

(1)求函数的单调递增区间；

(2)求曲线在点处的切线方程.

解：，因此有……(3分)

　　　 (1)令，即函数的单调递增区间是；……(6分)

(2)因为，，……(9分)

所以曲线在点处的切线方程为

，即.……(12分)