1.西方史学家习惯称道的“发现的时代”、“勘察的时代”、“扩张的时代”指的是:
A.14到15世纪资本主义萌芽的出现 B.葡萄牙和西班牙的殖民扩张
C向东方寻求黄金的新航路的开辟 D.15世纪中期到17世纪中期
5..已知.
⑴ 求函数在
上的最小值;
⑵ 对一切,
恒成立,求实数a的取值范围;
⑶ 证明对一切,都有
成立.
解:⑴ ,当
,
,
单调递减,当
,
,
单调递增.
① ,t无解;
② ,即
时,
;
③ ,即
时,
在
上单调递增,
;
所以.
⑵ ,则
,设
,则
,
,
,
单调递增,
,
,
单调递减,所以
,因为对一切
,
恒成立,所以
;
⑶ 问题等价于证明,由⑴可知
的最小值是
,当且仅当
时取到,设
,则
,易得
,当且仅当
时取到,从而对一切
,都有
成立.
4.如图,矩形纸片
的边
24,
25,点
、
分别在边
与
上.现将纸片的右下角沿
翻折,使得顶点
翻折后的新位置
恰好落在边
上.设
,
,
关于
的函数为
,试求:
(1)函数的解析式;(2)函数
的定义域; (3)
的最小值.
解:(1)设,则
.
由于,
,
则,即
.
而,
,
所以,解得
. 故
.
(2)因为,故当点E与点A重合时,
=1.
当点E向右运动时,BE长度变小,为保持点B1在边AD上,则点F要向上运动,从而BA的长度变大,则就变小,当点F与点C重合时,
取得最小值.
又当点F与点C重合时,有,即
,解之得
或
(舍). 所以
,又
是锐角,所以
.
综上,函数的定义域为
.
(3)记,因为
,所以函数
上单调递减,则当
时,
取得最大值为
.
从而的最小值为
.
3.如图,已知圆O的直径AB=4,定直线L到圆心的距离为4,且直线L⊥直线AB。点P是圆O上异于A、B的任意一点,直线PA、PB分别交L与M、N点。
试建立适当的直角坐标系,解决下列问题:
(1)若∠PAB=30°,求以MN为直径的圆方程;
(2)当点P变化时,求证:以MN为直径的圆必过圆O内的一定点。
解:建立如图所示的直角坐标系,⊙O的方程为,
直线L的方程为。
(1)∵∠PAB=30°,∴点P的坐标为,∴
,
。将x=4代入,得
。∴MN的中点坐标为(4,0),MN=
。∴以MN为直径的圆的方程为
。
同理,当点P在x轴下方时,所求圆的方程仍是。
(2)设点P的坐标为,∴
(
),∴
。
∵,将x=4代入,得
,
。∴
,MN=
。MN的中点坐标为
。
以MN为直径的圆截x轴的线段长度为
为定值。
∴⊙必过⊙O 内定点
。
2.根据如图所示的流程图,将输出的x值依次记为;输出的y值依次记为
,
,且
.
(1)求数列
的通项公式
;
(2)设,
为
的前n项和,求
;
(3)对于(2)中的,记
,若对于
一切正整数n≥2,总有成立,求实数
的取
值范围.
(1)由流程图可得,,即
,
又,∴
,
∴;
(2),
,
,
∴
,
∴,即
;
(3)时,
,
∵,当
时,
,当
时,
,
∴,∴
的最大值为
,
∴,∴
.
(另法:可根据判断单调性.)
1.一个四棱锥的三视图和直观图如图所示,E为侧棱PD的中点。
(1)求证:PB//平面AEC;
(2)若F为侧棱PA上的一点,且
, 则
为何值时,PA
平面BDF?
并求此时几何体F-BDC的体积.
解:(1)由图形可知该四棱锥和底面ABCD是菱形,且有一角为,边长为2,锥体高度为1。
设AC,BD和交点为O,连OE,OE为△DPB的中位线,
OE//PB,EO面EAC,PB
面EAC内,
PB//面AEC。
(2)过O作OFPA垂足为F
在Rt△POA中,PO=1,AO=,PA=2,PO2=PF·PA,2PF=1
在棱形中BDAC,又因为PO
面ABCD,所以BD
PO,
及BD面APO,所以PA
平面BDF
当时,在△POA中过F作FH//PO,则FH
面BCD,FH=
。
33.(13分)如图24-1所示,相距为L的光滑平行金属导轨与水平间的夹角为
,导轨一部分处在垂直导轨平面的匀强磁场中,OO’为磁场边界,磁感应强度为B,导轨右侧接有定值电阻R,导轨电阻忽略不计。在距OO’为L处垂直导轨放置一质量为m、电阻不计的金属杆ab。
(1)若ab杆在平行于斜面的恒力作用下由静止开始沿斜面向上运动,其速度一位移关系图像如图24-2所示,则在经过位移为3L的过程中电阻R上产生的电热Q1是多少?
(2)ab杆在离开磁场前瞬间的加速度是多少?
(3)若磁感应强度B=B0+kt(k为大于0的常数),要使金属杆ab始终静止在导轨上的初始位置,试分析求出施加ab杆的平行于斜面的外力。
黄浦区2009学年度第一学期期终基础学业测评
32.(13分)如图23-1所示,长为4m的水平轨道AB与倾角为37°的足够长斜面BC在B处连接,有一质量为2kg的滑块,从A处由静止开始受水平向右的力F作用,F按图23-2所示规律变化,滑块与AB和BC间的动摩擦因数均为0.25,重力加速度g取10m/s2。求:
(1)滑块到达B处时的速度大小;
(2)不计滑块在B处的速率变化,滑块冲上斜面,滑块最终静止的位置与B点的距离。
31.(12分)某炮竖直向上发射炮弹,炮弹的质量M为3kg(内含炸药的质量可以忽略不计),炮弹被射出的初速度为60m/s。当炮弹到达最高点时爆炸为沿水平方向相向飞行的两片,其中一片质量m为2kg,其炸开瞬间的速度大小是另一片的一半。现要求弹片不能落到以发射点为圆心、以半径R为480m的圆周范围内。假定重力加速度g始终为10m/s2,忽略空气阻力。求刚爆炸完时两弹片的总动能至少多大?
30.(12分)如图22所示为薄壁等长U型管,左管上端封闭,右管上端开口,管的横截面积为S,内装密度为
的液体,右管内有一质量为m的活塞搁在固定卡口上,卡口与左管上端等高,活塞与管壁间无摩擦且不漏气。当温度为T0时,左、右管内液面高度相等,两管内空气柱长度均为L(
),压强均为大气压强
。现使两边温度同时逐渐升高,求:
(1)温度升高到多少时,右管活塞开始离开卡口?
(2)温度升高到多少时,左管内液面下降
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