8．已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分别是AB、PC的中点。

(1)求平面PCD与平面ABCD所成二面角的大小；

(2)求证平面MND⊥平面PCD；

(3)求当AB的长度变化时异面直线PC与AD所成角的取值范围。

第22讲　空间角与距离(1)

[课前热身]1 B　　 2 C　　　 3　　　 4

[例题探究]

例1．(1)∵AB⊥平面BC₁，PC平面BC₁，∴AB⊥PC　　　　　　　　　　　

在矩形BCC₁B₁ 中，BC=2，BB₁=1，P为B₁C₁的中点，∴PC⊥PB　　　　　　

∴PC⊥平面ABP，∴∠CAP为直线AC与平面ABP所成的角　　　　　　　　

∵PC=，AC=，∴在Rt△APC中，∠CAP=30⁰

∴直线AC与平面ABP所成的角为30⁰　　　　　　　　　　　　　　　　

(2)取A₁D₁中点Q，连结AQ、CQ，在正四棱柱中，有AQ∥BP，

∴∠CAQ为异面直线AC与BP所成的角　　　　　　　　　　　　　　　

在△ACQ中，

∴∠CAQ=60⁰　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　

∴异面直线AC与BP所成的角为60⁰　　　 (也可用向量法)　　　　　　　

(3)过点B作BH⊥AP于H，　 由题(1) PC⊥平面ABP，∴PC⊥BH

∴BH⊥平面APC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴BH的长即为点B到平面APC的距离

在Rt△ABP中，AB=2，

例2：(1)证：因为四边形BCC₁B₁是矩形，∴BC⊥BB₁，又∵AB⊥BC，∴BC⊥平面A₁ABB₁。

∵BC平面CA₁B，∴平面CA₁B⊥平面A₁ABB₁。

(2)解：过A₁作A₁D⊥B₁B于D，连接DC，∵BC⊥平面A₁ABB₁，

∴BC⊥A₁D，∴A₁D⊥平面BCC₁B₁，故∠A₁CD为直线A₁C与平面BCC₁B₁所成的角。

在矩形BCC₁B₁中，DC=，因为四边形A₁ABB₁是菱形，∠A₁AB=60°，CB=3，AB=4，∴A₁D=，∴tan∠A₁CD=。

(3)∵B₁C₁∥BC₁，∴B₁C₁∥平面A₁BC，∴C­₁到平面A₁BC的距离即为B₁到平面A₁BC的距离。连结AB₁，AB­₁与A₁B交于点O，∵四边形A₁ABB₁是菱形，∴B₁O⊥A₁B，∵CA₁B⊥平面A₁ABB₁，∴B₁O⊥平面A₁BC，∴B₁O即为C₁到平面A₁BC的距离。∵B₁O=，∴C₁到平面A₁BC的距离为。

例3．：在长方体中，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立如图示空间直角坐标系

由已知可得，

又平面，从而与平面所成的角为，又，，从而易得

(1)因为所以=

易知异面直线所成的角为

(2)易知平面的一个法向量设是平面的一个法向量，由

即所以即平面与平面所成的二面角的大小(锐角)为

(3)点到平面的距离，即在平面的法向量上的投影的绝对值，

所以距离=所以点到平面的距离为

冲刺强化训练(22)

7、如图,正四棱锥P-ABCD中，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为。

(1)求侧面PAD 与底面ABCD所成二面角的大小 ；

(2)若E 是PB 中点，求异面直线PD与AE所成的角的正切值 ；

(3)在侧面PAD上寻找一点F使EF⊥侧面PBC，试确定F的位置并证明。

6、在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD。

(1)证明AB⊥平面VAD；

(2)求面VAD与面VDB所成的二面角的大小。

5、锐二面角α-l-β的棱l上一点A，射线ABα，且与棱成45°角，

与β成30°角，则二面角α-l-β的大小是(　 )

A、30°　　 B、45°　　　　　 C、60°　　　　　 D、90°

4、将正方体的纸盒展开(如图)，直线AB、CD在原正方体中的位置关系是(　 )

A、平行　 B 、垂直　 C、且成角　 D 、 异面且成角

3．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AB=2，A A₁=1，则点A到平面A₁BC的距离为(　 　 )

A、　　　　　　　　　　 B、　　　　　　　　　　 C、　　　　　 D、

2、在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AB=BB₁，则AB₁与C₁B所成的角的大小为()

A．60°　　　　　　　　　　 B．90°　　　　　　　　　 　 C．105°　　 　　　　　　　 D．75°

1、空间四边形中，若，则与平面 所成角的余弦值　　　　 (　　 )

A．　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　　 D．

3、二面角的平面角的基本作法有：定义法，三垂线定理法，垂面法。点到面的距离通常在面面垂直背景下向线作垂线得到线面垂直得射影。另空间距离和角的求解应遵循：一作二证三计算。

冲刺强化训练(22)

班级　　　　　 姓名　　　　 学号 　　　成绩 　　　　　　　　日期　　　 月　　 日

2、求线面角关键是找、作线与面垂直，通常是先寻找面面垂直，得到线面垂直；