7. 三垂线定理要注意“平面内”的条件：“平面内”一条直线垂直于“射影”则垂直于斜线。由三垂线定理得到的两个常用结论：①直线与角的两边所成的角相等，则直线在(角所在的)平面内的射影是角的平分线；②直线与平面内一条直线所成角的余弦等于直线与它在平面内的射影所成角的余弦和射影与这条直线所成角的余弦的积。

[举例]在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁,已知AB=AD=4,,AA₁=3, ∠A₁AB=∠A₁AD=

∠BAD=,(1)求AC₁的长(2)求平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积。

解析：记A₁在面ABCD内的射影为O，

∵∠A₁AB=∠A₁AD，∴O在∠BAD的平分线上，

又AB=AD，∴∠BAD的平分线即菱形ABCD的

对角线AC，故O在AC上；

∵cos∠A₁AB=cos∠A₁AO×cos∠OAB

∴cos∠A₁AO=,∴sin∠A₁AO=,

cos∠ACC₁=-；又AC=4，在⊿ACC₁中由余弦定理得AC₁=9；在⊿A₁AO中，A₁O=，

==24。

注：求AC₁的长还可以用向量：，平方即可。

[巩固]MN是两条互相垂直的异面直线a、b的公垂线段，点P是线段MN上除M，N外一动点，若点A是a上不同于公垂线垂足的一点，点B是b上不同于公垂线垂足的一点，△APB是：A、锐角三角形　　　 B、钝角三角形　　 C、直角三角形　　 D、以上均有可能

6．已知“面面垂直”的条件，一般发展为“一个面内垂直于交线的直线垂直于另一个面”。在直棱柱中隐藏着侧面与底面垂直的条件。

[举例] 四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面．已知，，，．证明：；

(07高考全国卷Ⅰ理19)

解析：作，垂足为，连结，

由侧面底面，得底面．

∵，∴ ，又

故为等腰直角三角形，，

又SO⊥BO，∴BC⊥面SAO，∴BC⊥SA

(或直接由三垂线定理得到)．

注：证明“线线垂直”一般去证一条“线”垂直于

过另一条“线”的面，或者使用三垂线定理。

[巩固] 如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁C₁= A₁C₁，

A₁B⊥AC₁，求证：A₁B⊥B₁C。

6. 证明“面面垂直”关键要找准哪个平面内的哪条直线垂直于另一个平面. 也可以证明两个平面的法向量垂直

[举例] 如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，

M、N分别是AB，PC的中点；若P-CD-A为45⁰

的二面角，求证： 平面MND⊥平面PDC；

解析：仅仅观察平面MND和平面PDC，很难

发现垂直的线索；从二面角P-CD-A入手，易见

CD⊥AD，CD⊥AP，∴CD⊥面PAD，∴CD⊥PD，即

∠PDA是二面角P-CD-A的平面角，∴∠PDA=45⁰，那么在Rt⊿PAD中有AP=AD，取PD中点E，则AE⊥PD，又由CD⊥面PAD得CD⊥AE，故AE⊥面PCD；而EN平行且等于DC，即EN平行且等于AM，∴四边形AMNE是平行四边形，即MN∥AE；于是有MN⊥面PCD，

又∵MN在面MND内，∴平面MND⊥平面PDC。

[巩固]如图，直三棱柱中，，

，为棱的中点．

求证：平面平面．

5．已知“线面平行”的条件，一般只有一个“发展”方向：过“线”的议和平面与已知“面”的交线和已知的“线”平行，故设法找到经过“线”的平面与已知“面”的交线往往是解题的关键。

[举例]如图4-1，正四棱锥S-ABCD的底面边长为a，侧棱长为2a，点P、Q分别在BD和SC上，并且BP：PD=1：2，PQ∥面SAD，求线段PQ的长。

解析：要用条件“PQ∥面SAD”，需找到过PQ的平面与面SAD的交线，方法有二：①分别延长CP、DA交于点R，如图4-2，则面SCR交面SAD于SR，又PQ∥面SAD，∴QP∥SR；

而在面ABCD中，⊿PDR∽⊿PBC，且PD=2PB，∴PR=2PC，PR=2BC=2a； 于是在⊿CSR中有：SR=3QP；在等腰⊿SAD中，可以求出cos∠SDA=,则在⊿SRD中由余弦定理可以求得SR=a，即PQ=a；②过P、Q分别作CD的平行线，分别交AD于P₁、交SD于Q₁，连P₁Q₁，如图4-3，面PP₁Q₁Q交面SAD于P₁Q₁且PQ∥面SAD，则PQ∥P₁Q₁，∴四边形PP₁Q₁Q是平行四边形，即PQ=P₁Q₁；在⊿DAB中，∵PD=2PB，∴PD=2PA=a，PP₁=AB=a，

∴QQ₁=a=CD，于是在⊿SCD中有：SQ₁=SD，

∴Q₁D=a，仿方法①可以求出P₁Q₁。

[巩固]如图，在矩形中，，为

上一点，将点沿线段折起至点，连结，

取的中点，若有平面．试确定点位置。

4．证明“线面平行”的关键是找准“这条直线”平行于平面内的哪条直线，(也可以先证经过“这条直线”的平面与平面平行)；

[举例] 右图是一个直三棱柱(以为底面)被一平面所截得到的几何体，截面为．已知，，，，．

若点是的中点，证明：平面；(07高考江西理20)

解析：取A₁B₁中点 ，连．则．

．

∴四边形是平行四边形，因此有．

又平面且平面，∴面．

注：在找“线”与面内的一条直线平行时，常用到一些平面图形的性质，

如：三角形的中位线、梯形中位线、平行四边形、平行线分线段成比例

定理的逆定理等。

[巩固] 如图，在四棱锥中，底面为正方形，

侧棱底面分别为的中点．

证明平面；(07高考全国卷Ⅱ理19)

3．证明立几问题时要有降维的思想：通过线线垂直证线面垂直，通过线面垂直证面面垂直；通过线线平行证线面平行，通过线面平行证面面平行。

2．在分析比较复杂的“孤立”的线面关系(不在几何体中)时，可以将其放置于一个我们熟悉的几何体(如三棱锥、长方体等)中研究，以便观察、寻找它们之间的联系。

[举例] 设为平面，为直线，以下四组条件：① ②； ③；④；可以作为的一个充分条件是　　　　　　 。　　

解析：题中线面关系既复杂又抽象，注意到其中包含大量的垂直关系，故可以在正方体内观察：①记面AD₁为，面AC为，则AD为，若视AB为

，⊥，但在面内；②若两两垂直，则

可以得到，但该条件中没有⊥，故反例只可能存在

于此处，记面AD₁为，面BB₁D₁D为，面AC为，则AD

为，但与成45⁰角；③注意到⊥，只要、不平行，就得不到，记面AD₁为，面BB₁D₁D为，面AC为，视AB为，但与成45⁰角；④由

⊥，⊥得∥，再由⊥得；故只有④。

[巩固]设、为直线，为平面，直线、分别为、在面内的射影，则下列四个命题中正确的个数是：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

①若⊥则⊥；②若⊥则⊥；③若∥则∥；④若∥则∥

A．3，　　　 B．2 　　　　C．1，　　　　 D．0

注：07年高考上海卷理科第10题就是由这一题变形、延伸而来：

[延伸] 在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． 已知是两个 相交平面，空间两条直线在上的射影是直线，在上的射影是直线．用与，与的位置关系，写出一个总能确定与是异面直线的充分条件：　　　　　　　　　

1．“公理1”用于证明“线在面内”；“公理2”用于证明“点在线上”，“公理3”及其推论用于证明“共面”。

[举例1]⊿ABC和⊿A₁B₁C₁所在的平面交于直线，AB和A₁B₁交于P，BC和B₁C₁交于Q，AC和

A₁C₁交于R，则下列判断正确的是：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

A．P、Q、R确定平面，且； 　　　　　　B．P、Q、R确定平面，且∥；

C．P、Q、R确定平面，且⊥；　　　　　　 D．P、Q、R都在直线上

解析：易见P是平面ABC和平面A₁B₁C₁的一个公共点，由公理2知，P在它们的公共线上，

同理：Q、R也在直线上。

[举例2] 如图，在六面体中，

四边形是边长为2的正方形，四边形

是边长为1的正方形，平面，

平面，．

求证：与共面，与共面．

(07高考安徽理17)

解析：几何体为六面体，则AB、A₁B₁共面，BC、B₁C₁共面，

CD、C₁D₁共面，AD、A₁D₁共面；

平面，平面．

∴平面平面

于是，．

设分别为的中点，连结，

有：A₁D₁平行且等于AD，故A₁E平行且等于DD₁，

同理C₁F平行且等于DD₁，于是A₁E平行且等于C₁F

∴．又由，得，

故，与共面．过点作平面于点，则，连结，于是，，

．，．，．

所以点在上，而与DO共面，故与共面．

[巩固1]已知在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且BG：GC=DH：HC=2：1，则EG、FH、AC的位置关系是：　　　　　　 (　　 )

A．两两异面　　 B．两两平行　　 C．交于一点　　 D．两两相交。

[巩固2] 如图，已知是棱长为的正方体，

点在上，点在上，且．

求证：四点共面；

(07高考江苏卷18)

23．请根据下面的两幅图，介绍“海心塔”所在的位置，并描述“海心塔”塔身的形状特点。要求：连标点符号不超过60字。(6分)