0  328308  328316  328322  328326  328332  328334  328338  328344  328346  328352  328358  328362  328364  328368  328374  328376  328382  328386  328388  328392  328394  328398  328400  328402  328403  328404  328406  328407  328408  328410  328412  328416  328418  328422  328424  328428  328434  328436  328442  328446  328448  328452  328458  328464  328466  328472  328476  328478  328484  328488  328494  328502  447090 

2. 若对任意实数xy总有f(xy)=f(x)+f(y),则下列各式中错误的是(  )

(A)f(1)=0           (B)f()= f(x) 

(C)f()= f(x)-f(y)    (D)f(xn)=nf(x)(nN)

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1.已知:f(x+y)=f(x)+f(y)对任意实数xy都成立,则(  )

(A)f(0)=0           (B)f(0)=1 

(C)f(0)=0或1         (D)以上都不对

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5.   三角函数型的抽象函数

f(x)=tgx-------------------------- f(x+y)=

f(x)=cotx------------------------ f(x+y)=

例1已知函数f(x)对任意实数xy均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0,f(-1)= -2求f(x)在区间[-2,1]上的值域.

分析:先证明函数f(x)在R上是增函数(注意到f(x2)=f[(x2x1)+x1]=f(x2x1)+f(x1));再根据区间求其值域.

例2已知函数f(x)对任意实数xy均有f(x+y)+2=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>2,f(3)= 5,求不等式 f(a2-2a-2)<3的解.

分析:先证明函数f(x)在R上是增函数(仿例1);再求出f(1)=3;最后脱去函数符号.

例3已知函数f(x)对任意实数xy都有f(xy)=f(x)f(y),且f(-1)=1,f(27)=9,当0≤x<1时,f(x)∈[0,1].

(1)    判断f(x)的奇偶性;

(2)    判断f(x)在[0,+∞]上的单调性,并给出证明;

(3)    若a≥0且f(a+1)≤,求a的取值范围.

分析:(1)令y=-1;

   (2)利用f(x1)=f(·x2)=f()f(x2);

   (3)0≤a≤2.

例4设函数f(x)的定义域是(-∞,+∞),满足条件:存在x1x2,使得f(x1)≠f(x2);对任何xyf(x+y)=f(x)f(y)成立.求:

(1)    f(0);

(2)    对任意值x,判断f(x)值的符号.

分析:(1)令x= y=0;(2)令yx≠0.

例5是否存在函数f(x),使下列三个条件:①f(x)>0,xN;②f(a+b)= f(a)f(b),a、b∈N;③f(2)=4.同时成立?若存在,求出f(x)的解析式,若不存在,说明理由.

分析:先猜出f(x)=2x;再用数学归纳法证明.

例6设f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足f(x·y)=f(x)+f(y),f(3)=1,求:

(1)    f(1);

(2)    若f(x)+f(x-8)≤2,求x的取值范围.

分析:(1)利用3=1×3;

(2)利用函数的单调性和已知关系式.

例7设函数yf(x)的反函数是yg(x).如果f(ab)=f(a)+f(b),那么g(a+b)=g(ag(b)是否正确,试说明理由.

分析:设f(a)=mf(b)=n,则g(m)=ag(n)=b,

进而m+nf(a)+f(b)= f(ab)=f [g(m)g(n)]….

例8已知函数f(x)的定义域关于原点对称,且满足以下三个条件:

①   x1x2是定义域中的数时,有f(x1x2)=

②   f(a)= -1(a>0,a是定义域中的一个数);

③   当0<x<2a时,f(x)<0.

   试问:

(1)    f(x)的奇偶性如何?说明理由;

(2)    在(0,4a)上,f(x)的单调性如何?说明理由.

   分析:(1)利用f [-(x1x2)]= -f [(x1x2)],判定f(x)是奇函数;

(3)    先证明f(x)在(0,2a)上是增函数,再证明其在(2a,4a)上也是增函数.

   对于抽象函数的解答题,虽然不可用特殊模型代替求解,但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题,对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此,针对不同的函数要进行适当变通,去寻求特殊模型,从而更好地解决抽象函数问题.

   例9已知函数f(x)(x≠0)满足f(xy)=f(x)+f(y),

(1)    求证:f(1)=f(-1)=0;

(2)    求证:f(x)为偶函数;

(3)    若f(x)在(0,+∞)上是增函数,解不等式f(x)+f(x)≤0.

分析:函数模型为:f(x)=loga|x|(a>0)

(1)    先令xy=1,再令xy= -1;

(2)    令y= -1;

(3)    由f(x)为偶函数,则f(x)=f(|x|).

例10已知函数f(x)对一切实数xy满足f(0)≠0,f(x+y)=f(xf(y),且当x<0时,f(x)>1,求证:

(1)    当x>0时,0<f(x)<1;

(2)    f(x)在x∈R上是减函数.

分析:(1)先令xy=0得f(0)=1,再令y=-x

(3)    受指数函数单调性的启发:

f(x+y)=f(x)f(y)可得f(xy)=

进而由x1x2,有f(x1x2)>1.

练习题:

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4.   对数函数型的抽象函数

f(x)=logax(a>0且a≠1)-----f(x·y)=f(x)+f(y);f()= f(x)-f(y)

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3.   指数函数型的抽象函数

  f(x)=ax------------------- f(x+y)=f(x)f(y);f(xy)=

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2.   幂函数型的抽象函数

  f(x)=xa----------------f(xy)= f(x)f(y);f()=

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1.   正比例函数型的抽象函数

    f(x)=kx(k≠0)---------------f(x±y)=f(xf(y)

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3、  求奇偶性,令y=-x;求单调性:令x+y=x1

几类常见的抽象函数

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2、  令x=0或1来求出f(0)或f(1)

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1、  代y=x,

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