2. 若对任意实数x、y总有f(xy)=f(x)+f(y),则下列各式中错误的是( )
(A)f(1)=0 (B)f()= f(x)
(C)f()= f(x)-f(y) (D)f(xn)=nf(x)(n∈N)
1.已知:f(x+y)=f(x)+f(y)对任意实数x、y都成立,则( )
(A)f(0)=0 (B)f(0)=1
(C)f(0)=0或1 (D)以上都不对
5. 三角函数型的抽象函数
f(x)=tgx-------------------------- f(x+y)=
f(x)=cotx------------------------ f(x+y)=
例1已知函数f(x)对任意实数x、y均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0,f(-1)= -2求f(x)在区间[-2,1]上的值域.
分析:先证明函数f(x)在R上是增函数(注意到f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1));再根据区间求其值域.
例2已知函数f(x)对任意实数x、y均有f(x+y)+2=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>2,f(3)= 5,求不等式 f(a2-2a-2)<3的解.
分析:先证明函数f(x)在R上是增函数(仿例1);再求出f(1)=3;最后脱去函数符号.
例3已知函数f(x)对任意实数x、y都有f(xy)=f(x)f(y),且f(-1)=1,f(27)=9,当0≤x<1时,f(x)∈[0,1].
(1) 判断f(x)的奇偶性;
(2) 判断f(x)在[0,+∞]上的单调性,并给出证明;
(3) 若a≥0且f(a+1)≤,求a的取值范围.
分析:(1)令y=-1;
(2)利用f(x1)=f(·x2)=f()f(x2);
(3)0≤a≤2.
例4设函数f(x)的定义域是(-∞,+∞),满足条件:存在x1≠x2,使得f(x1)≠f(x2);对任何x和y,f(x+y)=f(x)f(y)成立.求:
(1) f(0);
(2) 对任意值x,判断f(x)值的符号.
分析:(1)令x= y=0;(2)令y=x≠0.
例5是否存在函数f(x),使下列三个条件:①f(x)>0,x∈N;②f(a+b)= f(a)f(b),a、b∈N;③f(2)=4.同时成立?若存在,求出f(x)的解析式,若不存在,说明理由.
分析:先猜出f(x)=2x;再用数学归纳法证明.
例6设f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足f(x·y)=f(x)+f(y),f(3)=1,求:
(1) f(1);
(2) 若f(x)+f(x-8)≤2,求x的取值范围.
分析:(1)利用3=1×3;
(2)利用函数的单调性和已知关系式.
例7设函数y= f(x)的反函数是y=g(x).如果f(ab)=f(a)+f(b),那么g(a+b)=g(a)·g(b)是否正确,试说明理由.
分析:设f(a)=m,f(b)=n,则g(m)=a,g(n)=b,
进而m+n=f(a)+f(b)= f(ab)=f [g(m)g(n)]….
例8已知函数f(x)的定义域关于原点对称,且满足以下三个条件:
① x1、x2是定义域中的数时,有f(x1-x2)=;
② f(a)= -1(a>0,a是定义域中的一个数);
③ 当0<x<2a时,f(x)<0.
试问:
(1) f(x)的奇偶性如何?说明理由;
(2) 在(0,4a)上,f(x)的单调性如何?说明理由.
分析:(1)利用f [-(x1-x2)]= -f [(x1-x2)],判定f(x)是奇函数;
(3) 先证明f(x)在(0,2a)上是增函数,再证明其在(2a,4a)上也是增函数.
对于抽象函数的解答题,虽然不可用特殊模型代替求解,但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题,对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此,针对不同的函数要进行适当变通,去寻求特殊模型,从而更好地解决抽象函数问题.
例9已知函数f(x)(x≠0)满足f(xy)=f(x)+f(y),
(1) 求证:f(1)=f(-1)=0;
(2) 求证:f(x)为偶函数;
(3) 若f(x)在(0,+∞)上是增函数,解不等式f(x)+f(x-)≤0.
分析:函数模型为:f(x)=loga|x|(a>0)
(1) 先令x=y=1,再令x=y= -1;
(2) 令y= -1;
(3) 由f(x)为偶函数,则f(x)=f(|x|).
例10已知函数f(x)对一切实数x、y满足f(0)≠0,f(x+y)=f(x)·f(y),且当x<0时,f(x)>1,求证:
(1) 当x>0时,0<f(x)<1;
(2) f(x)在x∈R上是减函数.
分析:(1)先令x=y=0得f(0)=1,再令y=-x;
(3) 受指数函数单调性的启发:
由f(x+y)=f(x)f(y)可得f(x-y)=,
进而由x1<x2,有=f(x1-x2)>1.
练习题:
4. 对数函数型的抽象函数
f(x)=logax(a>0且a≠1)-----f(x·y)=f(x)+f(y);f()= f(x)-f(y)
3. 指数函数型的抽象函数
f(x)=ax------------------- f(x+y)=f(x)f(y);f(x-y)=
2. 幂函数型的抽象函数
f(x)=xa----------------f(xy)= f(x)f(y);f()=
1. 正比例函数型的抽象函数
f(x)=kx(k≠0)---------------f(x±y)=f(x)±f(y)
3、 求奇偶性,令y=-x;求单调性:令x+y=x1
几类常见的抽象函数
2、 令x=0或1来求出f(0)或f(1)
1、 代y=x,
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com