0  329301  329309  329315  329319  329325  329327  329331  329337  329339  329345  329351  329355  329357  329361  329367  329369  329375  329379  329381  329385  329387  329391  329393  329395  329396  329397  329399  329400  329401  329403  329405  329409  329411  329415  329417  329421  329427  329429  329435  329439  329441  329445  329451  329457  329459  329465  329469  329471  329477  329481  329487  329495  447090 

1.运用向量的数量积可以解决有关长度、角度等问题.因此充分挖掘题目所包含的几何意义,往往能得出巧妙的解法.

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5.向量数量积的运算律:

·    

⑵ (λ     ·(λ)

⑶ (+    

典型例题
 
 

例1. 已知||=4,||=5,且的夹角为60°,求:(2+3)·(3-2).

解:(2+3)(3-2)=-4

变式训练1.已知||=3,||=4,|+|=5,求|2-3|的值.

解:

例2. 已知向量=(sin,1),=(1,cos),-

(1) 若a⊥b,求

(2) 求|+|的最大值.

解:(1)若,则

  而,所以

(2)

时,的最大值为

变式训练2:已知,其中. (1)求证:互相垂直; (2)若的长度相等,求的值(为非零的常数).

证明:

     与互相垂直

(2),

,

,,

例3. 已知O是△ABC所在平面内一点,且满足()·(+-2)=0,判断△ABC是哪类三角形.

解:设BC的中点为D,则()()=02·=0BC⊥AD△ABC是等腰三角形.

变式训练3:若,则△ABC的形状是           .  

解: 直角三角形.提示:

例4. 已知向量=(cosθ, sinθ)和=(-sinθ, cosθ)  θ∈(π, 2π)且||=,求cos()的值.

解:=(cosθ-sinθ+, cosθ+sinθ)由已知(cosθ-sinθ+)2+(cosθ+sinθ)2

化简:cos

又cos2

∵θ∈(π, 2π)  ∴cos<0

∴cos=-

变式训练4.平面向量,若存在不同时为的实数,使,,试求函数关系式.

解:由

小结归纳
 

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4.向量数量积的性质:设都是非零向量,是单位向量,θ是的夹角.

··    

    

⑶ 当同向时,·     ;当反向时,·    

⑷ cosθ=    

⑸ |·|≤    

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3.向量的数量积的几何意义:

||cosθ叫做向量方向上的投影 (θ是向量的夹角).

·的几何意义是,数量·等于                  .

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2.两个向量的数量积的定义:已知两个非零向量,它们的夹角为θ,则数量      叫做的数量积(或内积),记作·,即·     .规定零向量与任一向量的数量积为0.若=(x1, y1),=(x2, y2),则·    

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1.两个向量的夹角:已知两个非零向量,过O点作,则∠AOB=θ (0°≤θ≤180°) 叫做向量     .当θ=0°时,     ;当θ=180°时,     ;如果的夹角是90°,我们说垂直,记作    

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2.由于向量有几何法和坐标法两种表示方法,所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法,由于坐标运算方便,可操作性强,因此应优先选用向量的坐标运算.

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1.认识向量的代数特性.向量的坐标表示,实现了“形”与“数”的互相转化.以向量为工具,几何问题可以代数化,代数问题可以几何化.

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4.两个向量=(x1、y1)和=(x2、y2)共线的充要条件是    

典型例题
 
 

例1.已知点A(2,3),B(-1,5),且,求点C的坐标.

=(-1,),=(1, ),即C(1, )

变式训练1.若,则=           .  

解: 提示:

例2. 已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),||=,求cos(α-β)的值.

解:||=coscos(α-β)=

变式训练2.已知-2=(-3,1),2+=(-1,2),求+

=(-1,1),=(1,0),∴+=(0,1)

例3. 已知向量=(1, 2),=(x, 1),+2=2,且,求x.

解:=(1+2x,4),=(2-x,3),3(1+2x)=4(2-x)x=

变式训练3.设=(ksinθ, 1),=(2-cosθ, 1) (0 <θ<π),,求证:k≥

证明: k= ∴k-≥0  ∴k≥

例4. 在平行四边形ABCD中,A(1,1),=(6,0),点M是线段AB的中点,线段CM与BD交于点P.

(1) 若=(3,5),求点C的坐标;

(2) 当||=||时,求点P的轨迹.

解:(1)设点C的坐标为(x0,y0),

 

 得x0=10  y0=6  即点C(10,6)

(2) ∵ ∴点D的轨迹为(x-1)2+(y-1)2=36  (y≠1)

∵M为AB的中点 ∴P分的比为

设P(x,y),由B(7,1)  则D(3x-14,3y-2)

∴点P的轨迹方程为

变式训练4.在直角坐标系x、y中,已知点A(0,1)和点B(-3,4),若点C在∠AOB的平分线上,且||=2,求的坐标.

解 已知A (0,1),B (-3,4)  设C (0,5),

D (-3,9)

则四边形OBDC为菱形  ∴∠AOB的角平分线是菱形OBDC的对角线OD

小结归纳
 
 

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3.平面向量的坐标运算:

=(x1、y1),=(x2、y2),λ∈R,则:

+      

      

λ       

已知A(x1、y1),B(x2、y2),则      

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