1.运用向量的数量积可以解决有关长度、角度等问题.因此充分挖掘题目所包含的几何意义,往往能得出巧妙的解法.
5.向量数量积的运算律:
⑴ ·= ;
⑵ (λ)·= =·(λ)
⑶ (+)·=
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例1. 已知||=4,||=5,且与的夹角为60°,求:(2+3)·(3-2).
解:(2+3)(3-2)=-4
变式训练1.已知||=3,||=4,|+|=5,求|2-3|的值.
解:
例2. 已知向量=(sin,1),=(1,cos),-.
(1) 若a⊥b,求;
(2) 求|+|的最大值.
解:(1)若,则
即 而,所以
(2)
当时,的最大值为
变式训练2:已知,,其中. (1)求证: 与互相垂直; (2)若与的长度相等,求的值(为非零的常数).
证明:
与互相垂直
(2),
,
,,
而
,
例3. 已知O是△ABC所在平面内一点,且满足(-)·(+-2)=0,判断△ABC是哪类三角形.
解:设BC的中点为D,则()()=02·=0BC⊥AD△ABC是等腰三角形.
变式训练3:若,则△ABC的形状是 .
解: 直角三角形.提示:
例4. 已知向量=(cosθ, sinθ)和=(-sinθ, cosθ) θ∈(π, 2π)且||=,求cos()的值.
解:=(cosθ-sinθ+, cosθ+sinθ)由已知(cosθ-sinθ+)2+(cosθ+sinθ)2=
化简:cos
又cos2
∵θ∈(π, 2π) ∴cos<0
∴cos=-
变式训练4.平面向量,若存在不同时为的实数和,使,且,试求函数关系式.
解:由得
|
4.向量数量积的性质:设、都是非零向量,是单位向量,θ是与的夹角.
⑴ ·=·=
⑵ ⊥
⑶ 当与同向时,·= ;当与反向时,·= .
⑷ cosθ= .
⑸ |·|≤
3.向量的数量积的几何意义:
||cosθ叫做向量在方向上的投影 (θ是向量与的夹角).
·的几何意义是,数量·等于 .
2.两个向量的数量积的定义:已知两个非零向量与,它们的夹角为θ,则数量 叫做与的数量积(或内积),记作·,即·= .规定零向量与任一向量的数量积为0.若=(x1, y1),=(x2, y2),则·= .
1.两个向量的夹角:已知两个非零向量和,过O点作=,=,则∠AOB=θ (0°≤θ≤180°) 叫做向量与的 .当θ=0°时,与 ;当θ=180°时,与 ;如果与的夹角是90°,我们说与垂直,记作 .
2.由于向量有几何法和坐标法两种表示方法,所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法,由于坐标运算方便,可操作性强,因此应优先选用向量的坐标运算.
1.认识向量的代数特性.向量的坐标表示,实现了“形”与“数”的互相转化.以向量为工具,几何问题可以代数化,代数问题可以几何化.
4.两个向量=(x1、y1)和=(x2、y2)共线的充要条件是 .
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例1.已知点A(2,3),B(-1,5),且=,求点C的坐标.
解==(-1,),==(1, ),即C(1, )
变式训练1.若,,则= .
解: 提示:
例2. 已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),|-|=,求cos(α-β)的值.
解:|-|==cos=cos(α-β)=
变式训练2.已知-2=(-3,1),2+=(-1,2),求+.
解 =(-1,1),=(1,0),∴+=(0,1)
例3. 已知向量=(1, 2),=(x, 1),=+2,=2-,且∥,求x.
解:=(1+2x,4),=(2-x,3),∥3(1+2x)=4(2-x)x=
变式训练3.设=(ksinθ, 1),=(2-cosθ, 1) (0 <θ<π),∥,求证:k≥.
证明: k= ∴k-=≥0 ∴k≥
例4. 在平行四边形ABCD中,A(1,1),=(6,0),点M是线段AB的中点,线段CM与BD交于点P.
(1) 若=(3,5),求点C的坐标;
(2) 当||=||时,求点P的轨迹.
解:(1)设点C的坐标为(x0,y0),
得x0=10 y0=6 即点C(10,6)
(2) ∵ ∴点D的轨迹为(x-1)2+(y-1)2=36 (y≠1)
∵M为AB的中点 ∴P分的比为
设P(x,y),由B(7,1) 则D(3x-14,3y-2)
∴点P的轨迹方程为
变式训练4.在直角坐标系x、y中,已知点A(0,1)和点B(-3,4),若点C在∠AOB的平分线上,且||=2,求的坐标.
解 已知A (0,1),B (-3,4) 设C (0,5),
D (-3,9)
则四边形OBDC为菱形 ∴∠AOB的角平分线是菱形OBDC的对角线OD
∵
∴
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3.平面向量的坐标运算:
若=(x1、y1),=(x2、y2),λ∈R,则:
+=
-=
λ=
已知A(x1、y1),B(x2、y2),则= .
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