28、如图所示，两根正对的平行金属直轨道MN、M´N´位于同一水平面上，两轨道之间的距离l=0.50m，轨道的MM´端之间接一阻值R=0.40Ω的定值电阻，NN´端与两条位于竖直面内的半圆形光滑金属轨道NP、N´P´平滑连接，两半圆轨道的半径均为R₀=0.50m．直轨道的右端处于竖直向下、磁感应强度B=0.64 T的匀强磁场中，磁场区域的宽度d=0.80m，且其右边界与NN´重合．现有一质量m=0.20kg、电阻r=0.10Ω的导体杆ab静止在距磁场的左边界s=2.0m处．在与杆垂直的水平恒力F=2.0N的作用下ab杆开始运动，当运动至磁场的左边界时撤去F，结果导体杆ab恰好能以最小速度通过半圆形轨道的最高点PP´．已知导体杆ab在运动过程中与轨道接触良好，且始终与轨道垂直，导体杆ab与直轨道之间的动摩擦因数μ=0.10，轨道的电阻可忽略不计，取g=10m/s²，求：

(1)导体杆刚进入磁场时，通过导体杆上的电流大小和方向；

(2)导体杆穿过磁场的过程中通过电阻R上的电荷量；

(3)导体杆穿过磁场的过程中整个电路中产生的焦耳热

解：(1)设导体杆在F的作用下运动至磁场的左边界时的速度为v₁，根据动能定理则有　　　　　　

　(F-μmg)s=mv₁²　 　　　　　　　　　　　　　　　　(2分)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　导体杆刚进入磁场时产生的感应电动势E=Blv₁此时通过导体杆上的电流大小I=E/(R+r)=3.8A(或3.84A)　　　　　　　　　　 (1分)

根据右手定则可知，电流方向为由b向a　　　　　　　　 (1分)

(2)设导体杆在磁场中运动的时间为t，产生的感应电动势的平均值为E_平均，则由法拉第电磁感应定律有　 E_平均=△φ/t=Bld/t 　　　　　　(1分)

通过电阻R的感应电流的平均值 I_平均=E_平均/(R+r)　　　　　 (1分)　　　　

通过电阻R的电荷量 q=It=0.512C(或0.51C)　　　　　　　 (1分)

(3)设导体杆离开磁场时的速度大小为v₂，运动到圆轨道最高点的速度为v₃，因导体杆恰好能通过半圆形轨道的最高点，根据牛顿第二定律对导体杆在轨道最高点时有　　　　　　　　 mg=mv₃²/R₀ 　　　　　　　　(1分)

对于导体杆从NN′运动至PP′的过程，根据机械能守恒定律有

mv₂²=mv₃²+mg2R₀ 　　　　　　　　　　　　　　　(2分)

解得v₂=5.0m/s 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1分)

导体杆穿过磁场的过程中损失的机械能

△E=mv₁²_－mv₂²=1.1J 　　　　　　　　　　　　　　　(1分)

此过程中电路中产生的焦耳热为　　 Q=△E-μmgd=0.94J 　　　(2分) 　

27、如图甲所示，光滑绝缘　 水平面上一矩形金属线圈　 abcd的质量为m、电阻为R、ad边长度为L，其右侧是有左右边界的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B，ab边长度与有界磁场区域宽度相等，在t=0时刻线圈以初速度v0进入磁场，在t=T时刻线圈刚好全部进入磁场且速度为vl，此时对线圈施加一沿运动方向的变力F，使线圈在t=2T时刻线圈全部离开该磁场区，若上述过程中线圈的v-t图象如图乙所示，整个图象关于t=T轴对称．

　 (1)求t=0时刻线圈的电功率；

　 (2)线圈进入磁场的过程中产生的焦耳热和穿过磁场过程中外力F所做的功分别为多少?

　 (3)若线圈的面积为S，请运用牛顿第二运动定律和电磁学规律证明：在线圈进人磁场过程中

(1)t=0时，E=BLv₀

线圈电功率P==

(2)线圈进入磁场的过程中动能转化为焦耳热

Q=mv₀²-mv₁²

外力做功一是增加动能，二是克服安培力做功

W_F=mv₀²-mv₁²

(3)根据微元法思想，将时间分为若干等分，每一等分可看成匀变速

vn-vn+1=

∴v₀-v₁=(I₁L₁+I₂L₂+…+I_nL_n)

其中I₁L₁+I₂L₂+…+I_nL_n=Q

电量Q=It==

∴v₀-v₁=

26、如图(甲)所示，一对平行光滑轨道放置在水平面上，两轨道相距L=1 m，两轨道之间用R=2Ω电阻连接，一质量为m=0.5 kg的导体杆与两轨道垂直，静止地放在轨道上，杆及轨道的电阻均忽略不计，整个装置处于磁感应强度B=2 T的匀强磁场中，磁场方向垂直轨道平面向上．现用水平拉力沿轨道方向拉导体杆，拉力F与导体杆运动的位移s间关系如图10(乙)所示，当拉力达到最大时，导体杆开始做匀速运动，经过位移s=2.5 m时，撤去拉力，导体杆又滑行了s′=2 m停下．求：

(1)导体杆运动过程中的最大速度；

(2)拉力F作用过程中，电阻R上产生的焦耳热；

(1)撤去拉力F后，设回路中平均电流为I，撤去拉力F时导体杆速度为v，由动量定理得　 －BIL·Δt=0-mv　　 I＝=BLs΄/(RΔt)

v＝B²L²s΄/(mR)＝8 m/s　　　　　　 　(8分)

(2)由题知，导体杆匀速运动速度为v，此时最大拉力F与杆受的安培力大小相等，即

F＝B²L²v/R

代入数据得　 F＝16 N

设拉力作用过程中，电阻R上产生的焦耳热为Q

由功能关系可得　 Q+mv²/2=W_F

又由F-s图像可知　 W_F＝30 J　

代入数据得　　　　 Q =14 J　

19．(本小题满分14分)

已知椭圆C的中心在坐标原点，离心率，一个焦点的坐标为．

(I)求椭圆C方程；

(II)设直线与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交轴于点T．当变化

时，求面积的最大值．

当均为正数时，称为的“均倒数”．已知数列的各项均为正数，且其前项的“均倒数”为．

(Ⅰ)试求数列的通项公式；

(Ⅱ)设，试判断并说明的符号；

(Ⅲ)已知，记数列的前项和为，试求的值；

(Ⅳ)设函数，是否存在最大的实数，使当时，对于一切正整数，

　都有恒成立？

怀柔区2009-2010学年度第二学期高三数学期中练习　　　　　　　

18．(本小题满分13分)

甲、乙两人同时参加奥运志愿者选拔赛的考试，已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才能入选．

(I)求甲答对试题数的分布列及数学期望；

(II)求甲、乙两人至少有一人入选的概率．

17．(本小题满分13分)

已知函数,且，求及函数的极大值与极小值．

16．(本小题满分14分)

　 　　　　 如图，已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是矩形，M、N分别是CD、SC的中点，SA⊥底面ABCD，

SA=AD=1，AB=．

(I)求证：MN⊥平面ABN；

(II)求二面角A-BN-C的余弦值．

15．(本小题共12分)

已知函数．

(Ⅰ)求函数的定义域；　

(Ⅱ)求在区间上的最大值与最小值．

14．已知函数，若，，则函数的零

点个数为　　　　　　　 ____.

13．如图，圆O和圆相交于A，B两点，AC是圆的切线，AD是

圆O的切线，若BC＝2，AB＝4，则　 　　_.