20．(本小题满分14分)

已知函数的图象过坐标原点，且在点处的切线的斜率是-5。

(Ⅰ)求实数、的值；

(Ⅱ)求在区间[-1，2]上的最大值；

(Ⅲ)对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点、，使得是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？说明理由。

19．(本小题满分13分)

已知中心的坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线过点，且点在轴上的射影恰为该双曲线的一个焦点。_K*S&5#

(Ⅰ)求双曲线的方程；_K*S&5#

(Ⅱ)命题：“过椭圆的一个焦点作与轴不垂直的任意直线”交椭圆于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，则为定值，且定值是”。命题中涉及了这么几个要素：给定的圆锥曲线，过该圆锥曲线焦点的弦，的垂直平分线与焦点所在的对称轴的交点，的长度与、两点间距离的比值

试类比上述命题，写出一个关于抛物线的类似的正确命题，并加以证明

(Ⅲ)试推广(Ⅱ)中的命题，写出关于圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的统一的一般性命题(不必证明)。

18．(本小题满分13分)

某运动项目设置了难度不同的甲、乙两个系列，每个系列都有和两个动作。比赛时每位运动员自选一个系列完成，两个动作得分之和为该运动员的成绩

假设每个运动员完成每个系列的两个动作的得分是相互独立的。根据赛前训练的统计数据，某运动员完成甲系列和乙系列动作的情况如下表：_K*S&5#

表1：甲系列　　　　　　　　　　　　　　　　　　 表2：乙系列

现该运动员最后一个出场，之前其他运动员的最高得分为115分

(Ⅰ)若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择哪个系列？说明理由，并求其获得第一名的概率；_K*S&5#

(Ⅱ)若该运动员选择乙系列，求其成绩的分布列及其数学期望。

17．(本小题满分13分)

如图，、是两条互相垂直的异面直线，点、在直线上，点、在直线上，、分别是线段、的中点，且，。

(Ⅰ)证明：平面；

(Ⅱ)设平面与平面所成的角为()。现给出下列四个条件：

①；　　 ②　　 ；　　　 ③；　　　 ④

请你从中再选择两个条件以确定的值，并求之。

16．(本小题满分12分)

已知函数。

(Ⅰ)求的单调递增区间；

(Ⅱ)将的图象向左平移个单位，得到函数()的图象。若的图象与直线交点的横坐标由小到大依次是，，…，，求数列的前项的和。

15．考察等式：　 　　　　(*)

其中、、，且。

某同学用概率论方法证明等式(*)如下：设一批产品共有件，其中件是次品，其余为正品。现从中随机取出件产品，记事件=取到的件产品中恰有件次品，则，，1，…，。显然，，…，为互斥事件，且(必然事件)，因此=，所以，即等式(*)成立。

对此，有的同学认为上述证明是正确的，体现了偶然性与必然性的统一；但有的同学对上述证明方法的科学性与严谨性提出质疑。现有以下四个判断：

①等式(*)成立；　 ②等式(*)不成立　 ③证明正确；　　 ④证明不正确　　

试写出所有正确判断的序号　　　　　　 。

14．已知抛物线的焦点，过且垂直于的直线交该抛物线于、两点。若椭圆()：的右焦点与点重和，右顶点与、构成等腰直角三角形，则椭圆的离心率为　　 　　　　。_K*S&5#

13．若、满足，则的最大值是　　　　　　 。

12．在中，角、、所对的边分别是、、，若，，且，则　　　　 　　　　　。

11．已知，则　　　　　　 。