82、如图所示，一质量m₂=0.25kg的平顶小车，在车顶中间放一质量m₃=0.1kg的小物体，小物体可视为质点，与车顶之间的动摩擦因数μ=，小车静止在光滑的水平轨道上．现有一质量m₁=0.05kg的子弹以水平速度v₀=20m/s射中小车左端，并留在车中(子弹与车相互作用时间很短)．后来小物体m₃以速度v₃=1m/s从平顶小车的一端滑出，取g=10m/s²．试求：

(1)小物体m₃从平顶小车的一端滑出时，平顶小车的速度大小；

(2)平顶小车的长度．

解：设子弹射中小车的瞬间，二者达到的共同速度为v₁，当小物体从平顶小车滑出时，平顶小车的速度为v₂，平顶小车的长度为L，由动量和能量守恒定律有

m₁ v₀=( m₂+ m₁ ) v₁ 　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　 (2分)

( m₂+ m₁ ) v₁=( m₂+ m₁ ) v₂+ m₃ v₃　 　　　　　　　　 　　　　 (2分)

( m₂+ m₁ )－( m₂+ m₁)－m₃=μm₃g　　　 　　　　 (2分)

由上述三式代入数据解得 v₂=3m/s 　　　　　　　　 　　　　 (1分)

　　　　　　　　　　　　 　 L=0.8m 　　　　　　　　　 　　　　 (2分)

81、如图所示，A、B两物体与一轻质弹簧相连，静止在地面上，有一小物体C从距A物体h高度处由静止释放，当下落至与A相碰后立即粘在一起向下运动，以后不再分开，当A与C运动到最高点时，物体B对地面刚好无压力、设A、B、C三物体的质量均为m，弹簧的劲度k，不计空气阻力且弹簧始终处于弹性限度内。若弹簧的弹性势能由弹簧劲度系数和形变量决定，求C物体下落时的高度h。

开始时A处于平衡状态，有　(2分)

　当C下落h高度时速度为，则有：　(2分)

　C与A碰撞粘在一起时速度为，由动量守恒有：　(2分)

　当A与C运动到最高时，B对地面无压力，即：　(2分)

　可得：　(2分)所以最高时弹性势能与初始位置弹性势能相等。(2分)

　由机械能守恒有：　(2分)

　解得：　(2分)

80、如图甲所示，质量m_B=1 kg的平板小车B在光滑水平面上以v₁=1 m／s的速度向左匀速运动．当t=0时，质量m_A=2kg的小铁块A以v₂=2 m／s的速度水平向右滑上小车，A与小车间的动摩擦因数为μ=0.2。若A最终没有滑出小车，取水平向右为正方向，g＝10m／s²，求：

(1)A在小车上停止运动时，小车的速度为多大?

(2)小车的长度至少为多少?

(3)在图乙所示的坐标纸中画出1.5 s内小车B运动的速度一时间图象．

(1)A在小车上停止运动时，A、B以共同速度运动，设其速度为v，取水平向右为　　 正方向，由动量守恒定律得：

　　 m_Av₂－m_Bv₁=(m_A+m_B)v　 (2分)

　　 解得，v=lm／s　 (2分)

(2)设小车的最小长度为L，由功能关系得：

　 (2分)

解得：L＝0.75m　 (2分)

(3)设小车做变速运动的时间为t，由动量定理得：

(2分)

解得：t＝0.5s　 (2分)

故小车的速度－时间图象如图所示．　 (3分)

(直接作出图象可给该7分．)

79、在水平长直的轨道上，有一长度为L的平板车在外力控制下始终保持速度v₀做匀速直线运动．某时刻将一质量为m的小滑块轻放到车面的中点，滑块与车面间的动摩擦因数为μ．

(1)证明：若滑块最终停在小车上，滑块和车摩擦产生的内能与动摩擦因数μ无关，是一个定值．

(2)已知滑块与车面间动摩擦因数μ=0.2，滑块质量m=1kg，车长L=2m，车速v₀=4m/s，取g=10m/s²，当滑块放到车面中点的同时对该滑块施加一个与车运动方向相同的恒力F，要保证滑块不能从车的左端掉下，恒力F大小应该满足什么条件？

(3)在(2)的情况下，力F取最小值，要保证滑块不从车上掉下，力F的作用时间应该在什么范围内?

(1)根据牛顿第二定律，滑块相对车滑动时的加速度

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1分)

　　 滑块相对车滑动的时间 　　　　　　　　　　　　　　 (1分)

滑块相对车滑动的距离　 　　　　　　　　　　　 (1分)

滑块与车摩擦产生的内能　 　　　　　　　　　　　 (1分)

由上述各式解得　 (与动摩擦因数μ无关的定值)　 (1分)

(2)设恒力F取最小值为F₁，滑块加速度为a₁，此时滑块恰好到达车的左端，则

滑块运动到车左端的时间　 　　　 ①　

由几何关系有　 　　　　 ②　　　　　　　　　 (1分)

由牛顿定律有　 　　　 ③　　　　　　　　　 (1分)

由①②③式代入数据解得　 ，　　　　　　　 (2分)

则恒力F大小应该满足条件是　 　　　　　　　　　　 (1分)

(3)力F取最小值，当滑块运动到车左端后，为使滑块恰不从右端滑出，相对车先做匀加速运动(设运动加速度为a₂，时间为t₂)，再做匀减速运动(设运动加速度大小为a₃)．到达车右端时，与车达共同速度．则有

　　　　　　　　　　 ④　　　　　　　　　 (1分)

　　　　　　　　　　　　 ⑤　　　　　　　　　 (1分)

　　　　　　　　　　　　 ⑥　　　　　　　　　 (1分)

由④⑤⑥式代入数据解得　 　　　　　　　　　　 (1分)

则力F的作用时间t应满足　 ，即(2分)

78、在倾角为θ的光滑斜面上端系有一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧下端连一个质量为m的小球，球被一垂直于斜面的挡板A挡住，此时弹簧没有形变，若挡板A以加速度a(a<gsinθ)沿斜面向下匀加速运动，问：

(1)小球向下运动多少距离时速度最大?

(2)从开始运动到小球与挡板分离时所经历的时间t为多少?

(3)从开始运动到小球与挡板分离时外力对小球做的总功为多少?

(1)　　　 分离后继续做加速度减小的加速运动，当加速度为零时，速度最大，此时物体所受合外力为零．　(1分)

即

，　　 (2分)

解得　　　 (1分)

(2)设球与挡板分离时位移为s，经历的时间为t，从开始运动到分离过程中，m受竖直向下的重力，垂直斜面向上的支持力F_N，沿斜面向上的挡板支持力F_N1和弹簧弹力f，据牛二定律有方程：

，　　　　　

随着x的增大，f增大，F_N1减小，保持a不变，当m与挡板分离时，x增大到等于s，F_N1减小到零，则有： (写出加速度仍为a 、挡板弹力为零时分离给1分)　 　　　

　　 (2分)

　　　　　　　 (1分)

联立解得：

　　 (2分)

(3)假设分离时候的速度为v 　　　　v=at　 (1分)

　　　　 　　　　(1分)

W=mv²/2　　　　　　　　　　 (1分)

W=　 　　　　(1分)　

77、如图所示，轻质长绳水平地跨在相距2L的两个小定滑轮A、B上，质量为m的物块悬挂在绳上O点，O与A、B两滑轮的距离相等，在轻绳两端C、D分别施加竖直向下的恒力F=mg.先托住物块，使绳处于水平拉直状态，静止释放物块，在物块下落过程中，保持C、D两端的拉力F不变.

(1)当物块下落距离h为多大时，物块的加速度为零.

(2)求物块下落过程中的最大速度v_m

(3)求物块下落过程中的最大距离H.

(1)　 h=L　　　　　 (4分)

(2)　 V_m= (－1 ) (5分)

(3 )　 H =　　　　　 (5分)

76、如图所示，倾角θ=37°的斜面底端B平滑连接着半径r=0.40m的竖直光滑圆轨道。质量m=0.50kg的小物块，从距地面h=2.7m处沿斜面由静止开始下滑，小物块与斜面间的动摩擦因数μ=0.25，求：(sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²)

(1)物块滑到斜面底端B时的速度大小。

(2)物块运动到圆轨道的最高点A时，对圆轨道的压力大小。

解：(1)物块沿斜面下滑过程中，在重力、支持力和摩擦力作用下做匀加速运动，设下滑加速度为a ，到达斜面底端B时的速度为v，则

　　　　 　(2分)

　　　　　 (2分)　　　　　　　　　　　　　　　

由①、②式代入数据解得：m/s (2分)　　　　　　　　　　　　　　

(2)设物块运动到圆轨道的最高点A时的速度为v_A，在A点受到圆轨道的压力为N，由机械能守恒定律得：

　　　　　 (2分)

物块运动到圆轨道的最高点A时，由牛顿第二定律得：

　　　　　　　　　 (2分)

代入数据解得：　　 N=20N　　　　　　　　　　　 (1分)

由牛顿第三定律可知，物块运动到圆轨道的最高点A时，对圆轨道的压力大小

N_A=N=20N　　 (1分)

75、如图，质量为m₁的物体A 经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m₂的物体B相连，弹簧的劲度系数为k ，A、B 都处于静止状态．一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩，不计滑轮的摩擦．开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向．重力加速度为g．

(1)求弹簧的压缩量；

(2)现用一恒力F沿竖直方向向下拉挂钩，求物块B刚要离开地面时物块A 的加速度a；

(3)上题中，若物块B刚要离开地面时，物块A的速度为v．求从开始施加拉力到物块B刚要离开地面过程中，弹簧弹力对物块A所做的功；

(4)若在挂钩上挂一质量为m₃的物体C 并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升，求此过程中弹簧弹力对物块A所做的功．

(1)A处于平衡状态，弹簧的弹力等于A物体的重力F =G，弹簧伸长量为x₁

根据胡克定律F₁ = kx₁(1分)

得x₁ =　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　(2分)

(2)B刚要离开地面时，B受弹簧弹力F₂和重力作用处于静止状态，则

F₂ = m₂g　　　　　　　　　　　　　　　(1分)

A受重力、绳的拉力和弹簧弹力F作用，根据牛顿第二定律

F - F₂ -m₁g = m₁a　　　　　　　　　　　　　(1分)

a=　　　　　　　　　　　　　(2分)

(3)B刚要离开地面时，弹簧的伸长量为x₂

kx₂ = m₂g　　　　　　　　　　　　　　　(1分)

此过程中以A为研究对象，根据动能定理

W_F +W_G + W_弹=m-0　　　　　　　　　　　　(1分)

重力和拉力做功分别为

W_G = - m₁g(x₁+ x₂)

W_F =F(x₁+ x₂) 　

得W_弹 =m+ (m₁g –F) g　　　　　　　　　(2分)

(4)分析题意可知，B不再上升，表明此时A和C的速度为零，C已降到最低点．(1分)

以A、C和弹簧为研究对象，根据机械能守恒定律，弹簧弹性势能增加量为

ΔE = m₃g(x₁+ x₂) - m₁g(x₁+ x₂) 　　　　　　　　　　(1分)

得ΔE = ( m₃g- m₁g) 　g

弹力对A所做的功

W = -ΔE= (m₁g - m₃g) 　g　　　　　　　(1分)

74、如图所示，一块质量为M、长为l的匀质板放在很长的光滑水平桌面上，板的左端有一质量为m的物块，物块上连接一根很长的细绳，细绳跨过位于桌面边缘的定滑轮，某人以恒定的速度向下拉绳，物块最多只能到达板的中点，而且此时板的右端尚未到达桌边定滑轮。求：

(1)物块与板的动摩擦因数及物块刚到达板的中点时板的位移(6分)

(2)若板与桌面间有摩擦，为使物块能到达板右端，板与桌面的动摩擦因数的范围(5分)

(3)若板与桌面间的动摩擦因数取(2)问中的最小值，在物块从板的左端运动到右端的过程中，人拉绳的力所做的功(其他阻力均不计)(3分)

(1)板在摩擦力作用下向右做匀加速运动直至与物块速度相同，此时物块刚到达板的中点。设时间为，

对木板有：，，　　 ∴　 　　　　　　　　　　　　2分　　　　　　　　

设在此过程中物块前进位移为，板前进位移为，

则　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

由以上几式可得：物块与板间的摩擦因数为，板的位移

(2)设板与桌面间摩擦因数为，物块在板上滑行的时间为则对板有：

，　，

又设物块从板的左端运动到右端的时间为

则　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

为了使物块能到达板的右端，必须满足 　　　　　

即　　 　　　　　　

所以为了使物块能到达板的右端，板与桌面间的摩擦因数

(3)设绳子的拉力为T，物块从板的左端到达右端的过程中物块的位移为，则有：

由功的计算公式得：　 　　

所以绳的拉力做功为

(或△△E+W)

73、如图所示，轻质弹簧的一端与墙相连，质量为的滑块以的速度沿光滑水平面运动并压缩弹簧，求(1)弹簧在被压缩过程中最大弹性势能(5分)，(2)当木块的速度减为时，弹簧具有的弹性势能(5分)。

(1) 25J　 (2) 21J