9．有人将工业染料“苏丹红4号”非法用作饲料添加剂，使得某些“红心鸭蛋”中含有对人体有害的苏丹红。“苏丹红4号”的结构简式为：

下列关于“苏丹红4号”说法中错误的是

A．分子式为C₂₄H₂₀N₄O　　　　　　　　　　　

B．能发生加成反应

C．能被酸性高锰酸钾溶液氧化　　　　　　　　

D．属于苯的同系物

8．用N_A表示阿伏伽德罗常数的值。下列叙述正确的是

A．25℃时，pH＝13的1.0LBa(OH)₂溶液中含有的OH^－数目为0.2N_A　

B．标准状况下，2.24LCl₂与过量的稀NaOH 溶液反应，转移电子总数为0.2N_A

C．室温下，21.0g乙烯和丁烯的混合气体中含有的碳原子数目为1.5N_A

D．78gNa₂O₂固体中含有的阴离子数为2N_A

7．化学与生活、社会密切相关，下列说法正确的是

A．维生素在天然食品中含量丰富，所以加工后的食品中维生素的含量也高

　　 B．2M+N=2P+2Q ，2P+M=Q(M、N为原料，Q为期望产品)符合“化学反应的绿色化”的要求

　　 C．世界卫生组织建议每天钠的摄取量少于2000 mg，人们每天可摄取少于2000 mg的金属钠

　 D．人体缺铁会得甲状腺肿大疾病

(18) 本题主要考查正弦、余弦定理, 三角公式变换, 三角形面积公式及向量运算等基础知识,同时考查运算求解能力。满分14分。

(Ⅰ)　 解: 利用正弦定理, 得

　　　　　　 sinCcosB+sinBcosC = 4sinAcosA,

　　　　　　 sin(B+C) = 4sinAcosA,

即 sinA = 4cosAsinA,

所以cosA =.　　　　　　　　　　　　　　 ……………………(7分)

(Ⅱ)　 解: 由(I), 得

　　　　 sinA =,

由题意,得

bcsinA＝,

所以bc = 8,

因此2 .　　　　　　　　　　　　　 …………………(14分)

(19) 本题主要考查排列组合, 随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念, 同时考查抽象概括能力。满分14分。

(Ⅰ)　 解: 记“取出的数各位数字互不相同”为事件B, 则

P(B)＝ .　　　　　　　　　　 …………………(5分)

(Ⅱ)　 解: 随机变量的取值为0, 1, 2. 的分布列是

	0	1	2
P

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………………(11分)

所以的数学期望

E＝0×+1×+2×= . …………………(14分)

(20) 本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系, 空间向量的概念与运算等基础知识,同时考查空间想象能力和推理运算能力。满分15分。

方法一:

(Ⅰ)　 解: 如图, 在平面内, 过点P作PM⊥EF, 点M为垂足, 连结BM, 则∠BMP为二面角－EF－的平面角. 以点P为坐标原点, 以直线PM为x轴, 射线PB为z轴的正半轴, 建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz.

　　　 在Rt△BMC中,

由∠BCM＝, CB = 4, 得　 CM =, BM =2.

在Rt△BMP中,

由∠BMP＝, BM =2, 得　 MP = 1, BP =.

故P(0,0,0), B(0, 0,), C(－1,－, 0), M(－1,0,0).

由∠ACM＝, 得　 A(1,－4, 0).

所以= (1,,0), = (2,－,0),

则　　 －10,

cos∠ACP = －,　　　 sin∠ACP = .

因此S_△ACP＝.　　　　　　　　　　　　　 …………………(7分)

(Ⅱ)　 解:＝(1,－4,－), ＝(0,－2,0),

　　　　　　　 24,

　　　　　　　 cos<>=,

所以AB与EF所成角的正切值为.　　　　 …………………(15分)

方法二:

(Ⅰ)　 解: 如图, 在平面内, 过点P作PM⊥EF, 点M为垂足,

连结BM, 则∠BMP为二面角－EF－的平面角.

在Rt△BMC中,

由∠BCM＝, CB = 4, 得

　　　　 CM =, BM=2.

在Rt△BMP中,

由∠BMP＝, BM=2, 得

MP=1.

　　　 在Rt△CMP中,

由CM =, MP=1, 得

CP=,　 cos∠PCM＝,　 sin∠PCM =.

故 sin∠ACP = sin(－∠PCM)＝.

所以S_△ACP＝.　　　　　　　　　　　　　 …………………(7分)

(Ⅱ) 解: 如图, 过点A作AQ∥EF, 交MP于点Q ,

则∠BAQ是AB与EF所成的角, 且AQ⊥平面BMQ .

在△BMQ中,

由∠BMQ＝, BM＝MQ＝2, 得

　　　　 　　　BQ = 2.

在Rt△BAQ中,

　　　　 由AQ＝AC+CM ＝4, BQ = 2, 得

　　　　　　　 tan∠BAQ =.

因此AB与EF所成角的正切值为.　　　　 …………………(15分)

(21) 本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查解析

几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。

(Ⅰ) 解: 设抛物线C的方程是x² = ay,

则,

即a = 4.

故所求抛物线C的方程为x² = 4y .　　　　　　 …………………(5分)

(Ⅱ) 解: 设P(x₁, y₁), Q(x₂, y₂),

则抛物线C在点P处的切线方程是

,

直线PQ的方程是

.

将上式代入抛物线C的方程, 得

,

故 x₁+x₂ =, x₁x₂ =－8－4y₁ ,

所以 x₂=－x₁ , y₂=+y₁+4 .

而＝(x₁, y₁－1), ＝(x₂ , y₂－1) ,

×＝x₁ x₂+(y₁－1) (y₂－1)

＝x₁ x₂+y₁ y₂－(y₁+y₂)+1

＝－4(2+y₁)+ y₁(+y₁+4)－(+2y₁+4)+1

＝－2y₁ －－7

＝(+2y₁+1)－4(+y₁+2)

＝(y₁+1)²－

＝

＝0,

故 y₁＝4, 此时, 点P的坐标是(±4,4) .

经检验, 符合题意.

所以, 满足条件的点P存在, 其坐标为P(±4,4). …………………(15分)

(22) 本题主要考查函数的基本性质、导数的概念、导数的应用等基础知识，同时考查逻辑推理能力和创新意识。满分14分。

(Ⅰ) 解: 当a = 0时,　 f (x)＝x³－4x²+5x ,

>0,

所以 f (x)的单调递增区间为, .　 …………………(6分)

(Ⅱ)　 解: 一方面由题意, 得

即 ;

另一方面当时,

f (x) = (－2x³+9x²－12x+4)a+x³－4x²+5x ,

令g(a) = (－2x³+9x²－12x+4)a+x³－4x²+5x, 则

g(a) ≤ max{ g(0), 　g() }

= max{x³－4x²+5x , (－2x³+9x²－12x+4)+x³－4x²+5x }

= max{x³－4x²+5x , x²－x+2 },

f (x) = g(a)

≤ max{x³－4x²+5x , x²－x+2 },

又{x³－4x²+5x}=2, {x²－x+2}=2, 且f (2)＝2,

所以当时,　 f (x)在区间[0,2]上的最大值是2.

综上, 所求 a的取值范围是.　　　　 …………………(14分)

(11) 1　　　　　　　　　　 (12) 1　　　　　　　　　　　　 (13) (－1)ⁿ( (－1)ⁿ与每对一个得2分)

(14) 1 　　　　　(15) 169　　　　　　 (16) 15　　　　　　　　 (17) [1,)

(1) B　 (2) D　　　 (3) C　　　 (4) A　　　 (5) D

(6) D　 (7) C　　　 (8) C　　　 (9) A　　　 (10) B

(18) (本题满分14分) 在△ABC中, 角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 且满足

.

(Ⅰ) 求的值;

(Ⅱ) 若△ABC的面积是, 求的值.

(19) (本题满分14分) 在由1,2,3,4,5组成可重复数字的三位数中任取一个数.

(Ⅰ) 求取出的数各位数字互不相同的概率;

(Ⅱ) 记为组成这个数的各位数字中不同的偶数个数(例如:若这个数为212, 则

). 求随机变量的分布列及其数学期望E. 　

(20) (本题满分15分) 如图, 在平面内直线EF与线段AB相交于C点, ∠BCF＝, 且

AC = CB = 4, 将此平面沿直线EF折成的二面角－EF－, BP⊥平面, 点P为垂足.

(Ⅰ) 求△ACP的面积;

(Ⅱ) 求异面直线AB与EF所成角的正切值.

(21) (本题满分15分) 已知抛物线C的顶点在原点, 焦点为F(0, 1).

(Ⅰ) 求抛物线C的方程;

(Ⅱ) 在抛物线C上是否存在点P, 使得过点P的直

线交C于另一点Q, 满足PF⊥QF, 且PQ与C

在点P处的切线垂直? 若存在, 求出点P的坐标;

若不存在, 请说明理由.

(22) (本题满分14分)已知函数().

(Ⅰ) 当a = 0时, 求函数的单调递增区间;

(Ⅱ) 若函数在区间[0, 2]上的最大值为2, 求a的取值范围.　

数学测试卷(理科)答案及评分参考

说明:

(11) 若实数满足不等式组则3x－y的最小值是________.

(12) 若等比数列{a_n}的前n项和S_n满足:　 a_n+1＝a₁ S_n+1(n∈N^*), 则a₁=________.

(13) 已知a₀≠0.

① 设方程a₀x+a₁＝0的1个根是x₁, 则x₁＝－；

② 设方程a₀x²+a₁x+a₂＝0的2个根是x₁, x₂, 则x₁ x₂＝；

③ 设方程a₀x³+a₁x²+a₂x+a₃＝0的3个根是x₁, x₂, x₃, 则x₁ x₂ x₃＝－；

④ 设方程a₀x⁴+a₁x³+a₂x²+a₃x+a₄＝0的4个根是x₁, x₂, x₃, x₄, 则x₁ x₂ x₃ x₄＝；

由以上结论, 推测出一般的结论:设方程a₀xⁿ+a₁x^n-1+a₂x^n-2+…+a_n-1x+a_n＝0的n个根

是x₁, x₂, …, x_n ,则x₁ x₂…x_n＝________.

(14) 设直线3x+4y－5＝0与圆C₁: 交于A, B两点, 若圆C₂的圆心在线段AB上,

且圆C₂与圆C₁相切, 切点在圆C₁的劣弧上, 则圆C₂的半径的最大值是________

(15) 如图, 某城市的电视发射塔CD建在市郊的小山上, 小山的高

BC为35米, 在地面上有一点A, 测得A, C间的距离为91米,

从A观测电视发射塔CD的视角(∠CAD)为, 则这座电视

发射塔的高度CD为________米.

(16) 将5人分成3组, 每组至多2人, 则不同的分组方式种数是________.

(17) 若函数在区间上单调递增,

则实数a的取值范围是________.

(1) 设非空集合A, B满足AB, 则

(A) x₀∈A, 使得x₀B 　　　　　　　　　(B)x∈A, 有x∈B　

(C) x₀∈B, 使得x₀A　　　　　　　　　　　　　　　　 (D)x∈B, 有x∈A

(2) 在二项式(x－)⁶的展开式中, 常数项是

(A) －10　　　　　　 (B) －15　　　　　 　(C) 10 　　　　　(D) 15

(3) 已知a, b是实数, 则“a = b”是“a³ = b³ ”的

(A) 充分而不必要条件　 (B) 必要而不充分条件

(C) 充分必要条件　　 　(D) 既不充分也不必要条件

(4) 若复数z与其共轭复数满足: |z|=, z +=2, 则

(A) 　z²－2z+2＝0　　 　(B) 　z²－2z－2＝0

(C) 　2z²－2z+1＝0　 　(D) 　2z²－2z－1＝0

(5) 某程序框图如图所示, 该程序运行后输出的k的值是

(A) 　4　　　　　　　 　(B)　 5　　　　　　　

(C)　 6　　　　　　　 　(D)　 7

(6) 设向量, 满足:, , ,

则与的夹角是

(A) 　　　　　　　　(B) 　　

(C) 　　　　　　　　(D)

(7) 在Rt△ABC中, ∠A＝, ∠B＝, 　AB=1. 若

圆O的圆心在直角边AC上, 且与AB和BC所在的

直线都相切, 则圆O的半径是

　(A) 　　　(B)　 　　　(C) 　　　(D)

(8) 若某多面体的三视图(单位: cm)如图所示, 则此多面体

的体积是

(A) cm³　　 　(B) cm³(C) cm³ (D) cm³

(9) 过双曲线(a>0, b>0)的右焦点F作圆

的切线FM(切点为M), 交y轴于点P.

若M为线段FP的中点, 则双曲线的离心率是

　(A) 　　　　　　　　　　 (B) 　　　　　　　　　　 (C) 2　　　　　　　　　　　　 (D)

(10) 在直角坐标系中, 如果两点A(a, b), B(－a, －b)在函数的图象上, 那么称

[A, B]为函数f (x)的一组关于原点的中心对称点 ([A , B]与[B, A]看作一组). 函数

关于原点的中心对称点的组数为

(A) 1　　　　　　　 (B) 2　 　　　　　　(C) 3　　　　　　 　(D) 4

非选择题部分 (共100分)

36．已知：线段AB=5cm，延长AB到C，使AC=7cm，在AB的反向延长线上取点D，使BD= 4BC，设线段CD的中点为E，问线段AE是线段CD的几分之一?