2.带电粒子在匀强电场中的偏转

质量为m电荷量为q的带电粒子以平行于极板的初速度v₀射入长L板间距离为d的平行板电容器间，两板间电压为U，求射出时的侧移、偏转角和动能增量。

⑴侧移：千万不要死记公式，要清楚物理过程。根据不同的已知条件，结论改用不同的表达形式(已知初速度、初动能、初动量或加速电压等)。

⑵偏角：，注意到，说明穿出时刻的末速度的反向延长线与初速度延长线交点恰好在水平位移的中点。这一点和平抛运动的结论相同。

⑶穿越电场过程的动能增量：ΔE_K=Eqy (注意，一般来说不等于qU)

目的要求

复习带电粒子在电场中的运动规律。

知识要点

1.带电粒子在匀强电场中的加速

一般情况下带电粒子所受的电场力远大于重力，所以可以认为只有电场力做功。由动能定理W=qU=ΔE_K，此式与电场是否匀强无关，与带电粒子的运动性质、轨迹形状也无关。

4．电荷引入电场

(1)将电荷引入电场：将电荷引入电场后，它一定受电场力Eq，且一定具有电势能φq。

(2)在电场中移动电荷电场力做的功：在电场中移动电荷电场力做的功W=qU，只与始末位置的电势差有关。在只有电场力做功的情况下，电场力做功的过程是电势能和动能相互转化的过程。W= -ΔE=ΔEK。

⑴无论对正电荷还是负电荷，只要电场力做功，电势能就减小；克服电场力做功，电势能就增大。

⑵正电荷在电势高处电势能大；负电荷在电势高处电势能小。

⑶利用公式W=qU进行计算时，各量都取绝对值，功的正负由电荷的正负和移动的方向判定。

⑷每道题都应该画出示意图，抓住电场线这个关键。(电场线能表示电场强度的大小和方向，能表示电势降低的方向。有了这个直观的示意图，可以很方便地判定点电荷在电场中受力、做功、电势能变化等情况。)

例题分析

例1：如图所示，在等量异种点电荷的电场中，将一个正的试探电荷由a 点沿直线移到o点，再沿直线由o点移到c点。在该过程中，检验电荷所受的电场力大小和方向如何改变？其电势能又如何改变？

解：根据电场线和等势面的分布可知：电场力一直减小而方向不变；电势能先减小后不变。

例2：图中边长为a的正三角形ABC的三点顶点分别固定三个点

电荷+q、+q、-q，求该三角形中心O点处的场强大小和方向。

解：每个点电荷在O点处的场强大小都是

由图可得O点处的合场强为方向由O指向C 。

例3：如图，在x轴上的x = -1和x =1两点分别固定电荷量为- 4Q和+9Q的点电荷。求：x轴上合场强为零的点的坐标。并求在x = -3点处的合场强方向。

解：由库仑定律可得合场强为零的点的坐标为x= -5。x= -5、x= -1、x=1这三个点把x轴分成四段，可以证明：同一直线上的两个点电荷所在的点和它们形成的合场强为零的点把该直线分成4段，相邻两段上的场强方向总是相反的。本题从右到左，4个线段(或射线)上的场强方向依次为：向右、向左、向右、向左，所以x= -3点处的合场强方向为向右。

例4：如图所示，三个同心圆是同一个点电荷周围的三个等势面，已知这三个圆的半径成等差数列。A、B、C分别是这三个等势面上的点，且这三点在同一条电场线上。A、C两点的电势依次为φ_A=10V和φ_C=2V，则B点的电势是

A.一定等于6V　　　　 B.一定低于6V　　

C.一定高于6V　　　　 D.无法确定

解：由U=Ed，在d相同时，E越大，电压U也越大。因此U_AB> U_BC，选B

例5：如图所示，将一个电荷量为q = +3×10^-10C的点电荷从电场中的A点移到B点过程，克服电场力做功6×10^-9J。已知A点的电势为φ_A= - 4V，求B点的电势。

解：先由W=qU，得AB间的电压为20V，再由已知分析：向右移动正电荷做负功，说明电场力向左，因此电场线方向向左，得出B点电势高。因此φ_B=16V。

例6：α粒子从无穷远处以等于光速十分之一的速度正对着静止的金核射去(没有撞到金核上)。已知离点电荷Q距离为r处的电势的计算式为 φ=，那么α粒子的最大电势能是多大？由此估算金原子核的半径是多大？

解：α粒子向金核靠近过程克服电场力做功，动能向电势能转化。设初动能为E，到不能再接近(两者速度相等时)，可认为二者间的距离就是金核的半径。根据动量守恒定律和能量守恒定律，动能的损失，由于金核质量远大于α粒子质量，所以动能几乎全部转化为电势能。无穷远处的电势能为零，故最大电势能E=J，再由E=φq=，得r =1.2×10^-14m，可见金核的半径不会大于1.2×10^-14m。

例7：已知ΔABC处于匀强电场中。将一个带电量q= -2×10^-6C的点电荷从A移到B的过程中，电场力做功W₁= -1.2×10^-5J；再将该点电荷从B移到C，电场力做功W₂= 6×10^-6J。已知A点的电势φ_A=5V，则B、C两点的电势分别为____V和____V。试在右图中画出通过A点的电场线。

解：先由W=qU求出AB、BC间的电压分别为6V和3V，再根据负电荷A→B电场力做负功，电势能增大，电势降低；B→C电场力做正功，电势能减小，电势升高，知φ_B= -1Vφ_C=2V。沿匀强电场中任意一条直线电势都是均匀变化的，因此AB中点D的电势与C点电势相同，CD为等势面，过A做CD的垂线必为电场线，方向从高电势指向低电势，所以斜向左下方。

例8：如图所示，虚线a、b、c是电场中的三个等势面，相邻等势面间的电势差相同，实线为一个带正电的质点仅在电场力作用下，通过该区域的运动轨迹，P、Q是轨迹上的两点。下列说法中正确的是　　

　　　　 A.三个等势面中，等势面a的电势最高

　　　　 B.带电质点一定是从P点向Q点运动

　　　　 C.带电质点通过P点时的加速度比通过Q点时小

　　　　 D.带电质点通过P点时的动能比通过Q点时小

解：先画出电场线，再根据速度、合力和轨迹的关系，可以判定：质点在各点受的电场力方向是斜向左下方。由于是正电荷，所以电场线方向也沿电场线向左下方。答案仅有D

3．电场线和等势面

要牢记以下6种常见的电场的电场线和等势面，注意电场线、等势面的特点和电场线与等势面间的关系：

①电场线的方向为该点的场强方向，电场线的疏密表示场强的大小。

②电场线互不相交，等势面也互不相交。

③电场线和等势面在相交处互相垂直。

④电场线的方向是电势降低的方向，而且是降低最快的方向。

⑤电场线密的地方等差等势面密；等差等势面密的地方电场线也密。

2．电势

φ是描述电场的能的性质的物理量。电场中某点的电势，等于单位正电荷由该点移动到参考点(零电势点)时电场力所做的功。和机械能中的重力势能类似，电场力做功也只跟始末位置间的电势差有关，和路径无关。W_电=Uq。根据功是能量转化的量度，有ΔE=-W_电，即电势能的增量等于电场力做功的负值。

目的要求

复习电场强度、电势、电势能。

知识要点

电场的最基本的性质是对放入其中的电荷有力的作用，电荷放入电场后就具有电势能。

1.电场强度E是描述电场的力的性质的物理量。

⑴定义：放入电场中某点的电荷所受的电场力F跟它的电荷量q的比值，叫做该点的电场强度，简称场强。

①这是电场强度的定义式，适用于任何电场。

②其中的q为试探电荷(以前称为检验电荷)，是电荷量很小的点电荷(可正可负)。

③电场强度是矢量，规定其方向与正电荷在该点受的电场力方向相同。

⑵点电荷周围的场强公式是：，其中Q是产生该电场的电荷，叫场电荷。

⑶匀强电场的场强公式是：，其中d是沿电场线方向上的距离。

3．与力学综合的问题。

例题分析

例1：在真空中同一条直线上的A、B两点固定有电荷量分别为+4Q和-Q的点电荷。①将另一个点电荷放在该直线上的哪个位置，可以使它在电场力作用下保持静止？②若要求这三个点电荷都只在电场力作用下保持静止，那么引入的这个点电荷应是正电荷还是负电荷？电荷量是多大？

解：①先判定第三个点电荷所在的区间：只能在B点的右侧；再由，F、k、q相同时∴r_A∶r_B=2∶1，即C在AB延长线上，且AB=BC。

②C处的点电荷肯定在电场力作用下平衡了；只要A、B两个点电荷中的一个处于平衡，另一个必然也平衡。由，F、k、Q_A相同，Q∝r²，∴Q_C∶Q_B=4∶1，而且必须是正电荷。所以C点处引入的点电荷Q_C= +4Q

例2：已知如图，带电小球A、B的电荷分别为Q_A、Q_B，OA=OB，都用长L的丝线悬挂在O点。静止时A、B相距为d。为使平衡时AB间距离减为d/2，可采用以下哪些方法

A.将小球A、B的质量都增加到原来的2倍

B.将小球B的质量增加到原来的8倍

C.将小球A、B的电荷量都减小到原来的一半

D.将小球A、B的电荷量都减小到原来的一半，同时将小球B的质量增加到原来的2倍

解：由B的共点力平衡图知，而，可知，选BD

例3：已知如图，光滑绝缘水平面上有两只完全相同的金属球A、B，带电量分别为-2Q与-Q。现在使它们以相同的初动能E₀(对应的动量大小为p₀)开始相向运动且刚好能发生接触。接触后两小球又各自反向运动。当它们刚好回到各自的出发点时的动能分别为E₁和E₂，动量大小分别为p₁和p₂。有下列说法：①E₁=E₂> E₀，p₁=p₂> p₀ ②E₁=E₂= E₀，p₁=p₂= p₀ ③接触点一定在两球初位置连线的中点右侧某点 ④两球必将同时返回各自的出发点。其中正确的是

A.②④　　 B.②③　　 C.①④　　 D.③④

解：由牛顿定律的观点看，两球的加速度大小始终相同，相同时间内的位移大小一定相同，必然在连线中点相遇，又同时返回出发点。由动量观点看，系统动量守恒，两球的速度始终等值反向，也可得出结论：两球必将同时返回各自的出发点。且两球末动量大小和末动能一定相等。从能量观点看，两球接触后的电荷量都变为-1.5Q，在相同距离上的库仑斥力增大，返回过程中电场力做的正功大于接近过程中克服电场力做的功，由机械能定理，系统机械能必然增大，即末动能增大。选C。

本题引出的问题是：两个相同的带电小球(可视为点电荷)，相碰后放回原处，相互间的库仑力大小怎样变化？讨论如下：①等量同种电荷，F ^/=F；②等量异种电荷，F ^/=0<F；③不等量同种电荷F ^/>F；④不等量异种电荷F ^/>F、F ^/=F、F ^/<F都有可能，当满足q₁=(3±2)q₂时F ^/=F。

例4：已知如图，在光滑绝缘水平面上有三个质量都是m的相同小球，两两间的距离都是l，A、B电荷量都是+q。给C一个外力F，使三个小球保持相对静止共同加速运动。求：C球的带电电性和电荷量；外力F的大小。

解：先分析A、B两球的加速度：它们相互间的库仑力为斥力，因此C对它们只能是引力，且两个库仑力的合力应沿垂直与AB连线的方向。这样就把B受的库仑力和合力的平行四边形确定了。于是可得Q_C= -2q，F=3F_B=3F_AB=。

2．同一条直线上的三个点电荷的计算问题。

目的要求

复习库仑定律及其应用。

知识要点

1．真空中两个点电荷之间相互作用的电力，跟它们的电荷量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。即：

　　 其中k为静电力常量， k=9.0×10 ⁹ Nžm²/c²

成立条件：

①真空中(空气中也近似成立)；

②点电荷。即带电体的形状和大小对相互作用力的影响可以忽略不计。(这一点与万有引力很相似，但又有不同：对质量均匀分布的球，无论两球相距多近，r都等于球心距；而对带电导体球，距离近了以后，电荷会重新分布，不能再用球心距代替r)。

§1. 电　 场