2．特殊函数法

例13　 如果函数f(x)=x²+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t)，那么f(1),f(2),f(4)的大小关系是　　 　　　 。

解 　由于f(2+t)=f(2-t)，故知f(x)的对称轴是x=2。可取特殊函数f(x)=(x-2)²,即可求得f(1)=1,f(2)=0,f(4)=4。∴f(2)<f(1)<f(4)。

1.特殊值法

例12 　设a>b>1，则log_ab,log_ba,log_abb的大小关系是　　　　　　 。

解 　考虑到三个数的大小关系是确定的，不妨令a=4,b=2，则log_ab=,log_ba=2,log_abb=,

∴log_abb<log_ab<log_ba。

例9 　若关于x的方程=k(x-2)有两个不等实根，则实数k的取值范围是　　　　　　　　 。

解 　令y₁=,y₂=k(x-2),由图14-3可知k_AB<k≤0，其中AB为半圆的切线，计算得k_AB= -,∴-<k≤0。

例10 　已知两点M(0,1),N(10,1) ，给出下列直线方程

①5x-3y-22=0;②5x-3y-52=0;③x-y-4=0;④4x-y-14=0。在直线上存在点P满足|MP|=|NP|+6的所有直线方程的序号是 　　　　　　 。

解　 由|MP|=|NP|+6可知，点P的轨迹是以M(0，1)，N(10，1)为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为-=1，(x>5)。本题实质上可转化为考察所给直线与双曲线的右支有无交点的问题，结合图形判断，易得②③直线与双曲线的右支有交点。

例11 　点P(x,y)是曲线C：(θ为参数，0≤θ<π)上任意一点，则的取值范围是　　　 　　　 。

解 　曲线C的普通方程为(x+2) ² +y²=1(y≥0)，则可视为P点与原点O连线的斜率，结合图形14-4判断易得的取值范围是[-，0]。

例1 　已知数列{a_n}、{b_n}都是等差数列，a₁=0、b₁= -4，用S_k、S′_k、分别表示数列{a_n}、{b_n}的前k项和(k是正整数)，若S_k+S′_k =0，则a_k+b_k的值为　　　　　　 。

解　 法一 　直接应用等差数列求和公式S_k=，得+=0，又a₁+b₁= -4, ∴a_k+b_k=4。

法二 　由题意可取k=2(注意：k≠1，为什么？)，于是有a₁+a₂+b₁+b₂=0，因而a₂+b₂=4,即a_k+b_k=4。

例2 　乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛。3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种(用数字作答)。

解 　三名主力队员的排法有种，其余7名队员选2名安排在第二、四位置上有种排法，故共有排法数A₃³A₇²=252种。

例3 　如图14-1，E、F分别为正方体的面ADD₁A₁、面BCC₁B₁的中心，则四边形BFD₁E在该正方体的面上的射影可能是　　　　　 (要求：把可能的图的序号都填上)。

解 　正方体共有3 组对面，分别考察如下：(1)四边形BFD₁E在左右一组面上的射影是图③。因为B点、F点在面AD₁上的射影分别是A点、E点。(2)四边形BFD₁E在上下及前后两组面上的射影是图②。因为D₁点、E点、F点在面AC上的射影分别是D点、AD的中点、BC的中点；B点、E点、F点在面DC₁上的射影分别是C点、DD₁的中点、CC₁的中点。故本题答案为②③。

例4 　已知抛物线的焦点坐标为F(2,1)，准线方程为2x+y=0，则其顶点坐标为　　　　　　　　 。

解 　过焦点F(2,1)作准线的垂线段，由解几知识可得抛物线顶点为垂线段的中点。又由于准线的斜率k= -2,k_OF=，∴O为垂足，从而易得OF的中点，即顶点为(1, )。

例5 　老师给出一个函数y=f(x)，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质：

甲：对于x∈R，都有f(1+x)=f(1-x)　　　　　　 乙：在 (-∞,0上函数递减

丙：在(0,+∞)上函数递增　　　　　　　　 丁：f(0)不是函数的最小值

如果其中恰有三人说得正确，请写出一个这样的函数　　　　　　　　　 。

解 　由题意知，以甲、乙、丙、丁四个条件中任意三个为一组条件，写出符合条件的一个函数即可。例如同时具备条件甲、乙、丁的一个函数为y=(x-1)²。

例6 　若-=1，则sin2θ的值等于　　　　　　　　 。

解 　由-=1得sinθ-cosθ=sinθcosθ　 ①

令sin2θ=t，则①式两边平方整理得t²+4t-4=0，解之得t=2-2。

例7 　已知z₁=3+4i,z₂= -2-5i,则arg()=　　　　　　 。

解 　将z₁=3+4i,z₂= -2-5i代入整理得=3i，故arg()=。

例8　 若(+)ⁿ展开式中的第5项为常数，则n=　　　　　 。

解　 由T_r+1=C_n^r()^n-r()^r=C_n^r2^rx及题意可知，当r=4时，n-3r=0，∴n=12。

同选择题一样，填空题也属小题，其解题的基本原则是“小题不能大做”。解题的基本策略是：巧做。解题的基本方法一般有：直接求解法，图像法和特殊化法(特殊值法，特殊函数法，特殊角法，特殊数列法，图形特殊位置法，特殊点法，特殊方程法，特殊模型法)等。

[例题解析]

1．填空题的考查功能大体上与选择题的考查功能相当。

同选择题一样，要真正发挥好填空题的考查功能，同样要群体效应。但是，由于填空题的应答速度难以追上选择题的应答速度，因此在题量的使用上，难免又要受到制约。从这一点看，一组好的填空题虽然也能在较大的范围内考查基础知识、基本技能和基本思想方法，但在范围的大小和测试的准确性方面填空题的功能要弱于选择题。不过，在考查的深入程度方面，填空题要优于选择题。作为数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断，几乎没有间接方法可言，更是无从猜答，懂就是懂，不懂就是不懂，难有虚假，因而考查的深刻性往往优于选择题。但与解答题相比其考查的深度还是差得多。就计算和推理来说，填空题始终都是控制在低层次上的。

17． 如右图，E、F分别是正方体的面ADD₁A₁、面BCC₁B₁的中心，则四边形BFD₁E在该正方体的面上的射影可能是　　　.(要求：把可能的图的序号都填上)

讲解　 因为正方体是对称的几何体，所以四边形BFD₁E在该正方体的面上的射影可分为：上下、左右、前后三个方向的射影，也就是在面ABCD、面ABB₁A₁、面ADD₁A₁上的射影.

四边形BFD₁E在面ABCD和面ABB₁A₁上的射影相同，如图2所示；

四边形BFD₁E在该正方体对角面的ABC₁D₁内，它在面ADD₁A₁上的射影显然是一条线段，如图3所示. 　故应填23.

18　 直线被抛物线截得线段的中点坐标是___________.

讲解　由消去y，化简得

设此方程二根为，所截线段的中点坐标为，则

故 应填 .

　　 19 椭圆上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则当m取最大值时，点P的坐标是_____________________.

讲解　 记椭圆的二焦点为，有

则知　　　　

　　 显然当，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.

　　 故应填或

　　 20　 一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式是，在杯内放一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的取值范围是___________.

讲解　 依抛物线的对称性可知，大圆的圆心在y轴上，并且圆与抛物线切于抛物线的顶点，从而可设大圆的方程为　

　　 由　　　　　　　　　

消去x，得　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(*)

解出　　 　　　　　　　或

　　 要使(*)式有且只有一个实数根，只要且只需要即

　　 再结合半径，故应填

数学 怎样解填空题

[考点梳理]

16．　 若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是　　　　(只需写出一个可能的值)．

讲解 　本题是一道很好的开放题，解题的开窍点是：每个面的三条棱是怎样构造的，依据“三角形中两边之和大于第三边”，就可否定{1，1，2}，从而得出{1，1，1}，{1，2，2}，{2，2，2}三种形态，再由这三类面构造满足题设条件的四面体，最后计算出这三个四面体的体积分别为： , ,，故应填.、 、 中的一个即可.