2.设集合,则集合是
( )
A.B. C. D.
1.如果为纯虚数,则实数a等于 ( )
A.0 B.-1 C.1 D.-1或1
20.解:(I)由已知,(,), ………………2分
即(,),且.
∴数列是以为首项,公差为1的等差数列.
∴.……………………………………………………………………………4分
(II)∵,∴,要使恒成立,
∴恒成立,
∴恒成立,
∴恒成立.……………………………………………………………6分
(ⅰ)当为奇数时,即恒成立,…………………………………………7分
当且仅当时,有最小值为1,
∴.………………………………………………………………………………9分
(ⅱ)当为偶数时,即恒成立,………………………………………10分
当且仅当时,有最大值,
∴.……………………………………………………………………………12分
即,又为非零整数,则.
综上所述,存在,使得对任意,都有.…………………14分
19.解:(Ⅰ)由:知.……………………………………………1分
设,在上,因为,所以,
得,.………………………………………………………………… 3分
在上,且椭圆的半焦距,于是………………………5分
消去并整理得 , 解得(不合题意,舍去).
故椭圆的方程为. ………………………………………………… 7分
(Ⅱ)由知四边形是平行四边形,其中心为坐标原点,
因为,所以与的斜率相同,
故的斜率.
设的方程为.……………………………………………………… 8分
由 ………………………………………………………………… 9分
消去并化简得 .…………………………………… 10分
设,,,.……………………11分
因为,所以.
.……………… 12分
所以.此时,
故所求直线的方程为,或. …………………… 14分
18.解:(Ⅰ)因为………………………………………… 2分
所以
因此. ………………………………………………………………… 4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
.………………………………………………………… 6分
当时,;
当时,.
所以的单调增区间是;
的单调减区间是.……………………………………………………… 9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,在内单调增加,在内单调减少,在上单调增加,且当或时,.……………………………………………… 10分
所以的极大值为,极小值为.……………12分
所以在的三个单调区间直线有的图象各有一个交点,当且仅当.
因此,的取值范围为.……………………………………… 14分
17.(I)由题意知,的可能取值为且
所以的分布列为
………………………………………………… 5分
的数学期望为…………………………7分
(II)用表示“甲得2分乙得1分”这一事件,用表示“甲得3分乙得0分”这一事件,互斥.
…………9分
………………………………………………………………………… 11分
………………………… 13分
16.(Ⅰ)在Rt△BAD中,AD=2,BD=,
∴AB=2,ABCD为正方形,因此BD⊥AC.
∵PA⊥平面ABCD,
∴BD⊥PA .
∵,
∴.………………………… 4分
得. ……………………………………………………………5分
(Ⅱ)如图建立空间直角坐标系,则,,,
,,
易求平面的法向量为,
平面的法向量为 …………………………………………… 7分
,
二面角的余弦值. …………………………………………… 9分
(III)因为在上,所以可设,
又,
,.……………………… 10分
由(Ⅱ)可知平面的法向量为,
所以设与平面所成的角为,则有:
…………………………………… 11分
所以有,,, ………12分
所以存在且. ……………………………………………………………13分
15.解:(I)
………………………………………… 4分
.……………………………………………6分
由
函数图象的对称轴方程为 .…………… 8分
(II) ………………………………… 9分
因为在区间上单调递增,在区间上单调递减,
所以 当时,取最大值 1.
又 ,当时,取得最小值.
所以 函数 在区间上的值域为.……………………………12分
9.15 10. 9 11. 25 12. 1320 13.(0,2); 14. ①②
20. (本题满分14分)
已知数列中,,,其前项和满足(,).
(1)求数列的通项公式;
(2)设为非零整数,),试确定的值,使得对任意,都有成立.
密云高中数学(理科)模拟答案及评分标准
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