⒗(本小题满分12分)已知(
是常数,
),
的图象经过点
.
⑴求的值;
⑵在等腰中,
,
,求
.
⒘(本小题满分12分)某个猜答案游戏,组织者将提出相互独立的三个选择题,每题有四个选项,其中只有一个是正确的,游戏规定前两个选择题至少答对一个才有资格答第三题。甲将回答的(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)三题的分值分别是10、15、15,根据自己的知识经验,甲可以排除(Ⅰ)题的2个错误选项、排除(Ⅱ)题的1个错误选项,不能排除(Ⅲ)题的错误选项。假设甲在每题剩下选项中随机选择,三题所得总分为。
⑴若组织者按(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)的顺序出题,求的分布列和数学期望;
⑵若组织者不按(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)的顺序出题,的数学期望是否都相等?
(第⑵问共1分,直接写出“是”或“否”即可,不必具体计算)
⒙(本小题满分14分)如图3,是边长为
的等边三角形,
、
分别是
、
边上一点,
。将
沿
折成直二面角
,连接
、
,得到四棱锥
(如图4),其中平面
与平面
相交于直线
.
⑴求证:;
⑵若,求二面角
的大小;
⑶若
,求四棱锥
的体积
.
⒚(本小题满分14分)已知椭圆:
的离心率为
,过坐标原点
且斜率为
的直线
与
相交于
、
,
.
⑴求、
的值;
⑵若动圆与椭圆
和直线
都没有公共点,试求
的取值范围.
⒛(本小题满分14分)已知函数,
是常数.
⑴若,曲线
上点
处的切线与直线
平行,求点
的坐标;
⑵试证明,对任意常数,函数
在区间
存在零点.
21(本小题满分14分)已知数列,
,对任意
,
.
⑴求数列的通项公式;
⑵设数列的前
项和为
,试证明:
时,
.
理科数学评分参考
㈠必做题(9-13题)
⒐平面向量、
中,
,
,
则向量
.
⒑在阳光体育活动中,全校学生积极参加室外跑步。
高三⑴班每个学生上一个月跑步的路程从大到小
排列依次是、
、
、…、
(任意
、
、…、
,
),图1是统计该班上一个
月跑步长度前10名学生平均跑步路程的程序框图。
则图中判断框①应填 ,处理框(执行框)②应填 .
⒒从圆外一点
作这个圆的切线,设两条切线之间所夹的角为
,则
.
⒓对于具有线性相关关系的一组数据:
用最小二乘法求得关于
的线性回归方程
经过一点(样本中心点)
是 .
⒔不等式的解集是
.
㈡选做题(14、15题,考生只能从中选做一题)
⒕(坐标系与参数方程选做题)在以
为极点的极坐标系中,直线
的极坐标方程是
,直线
与极轴相交于点
,以
为直径的圆的极坐标方程是 。
⒖(几何证明选讲选做题)如图2,是圆
的内接
三角形,圆的半径
,
,
,
是圆的切线,则
.
⒈已知集合,
,则集合
的元素的个数是
A.个 B.
个 C.
个 D.
个
⒉已知复数的共轭复数
(其中
是虚数单位),则
A. B.
C.
D.
⒊已知函数是定义在
上的奇函数,当
时,
.则当
时,
A. B.
C.
D.
⒋数列的前
项和为
,已知
,则
A. B.
C.
D.
⒌给定下列四个命题:
①、
是两异面直线,那么经过直线
可以作无数个与直线
平行的平面。
②、
是任意两个平面,那么一定存在平面
,满足
且
。
③、
是长方体互相平行的两条棱,将长方体展开,那么在展开图中,
、
对应的线段所在直线互相平行。
④已知任意直线和平面
,那么一定存在平面
,满足
且
。
其中,为真命题的是
A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④
⒍在平面直角坐标系中,点
,
,则
A. B.
C.
D.
⒎防疫站有A、B、C、D四名内科医生和E、F两名儿科医生,现将他们分成两个3人小组分别派往甲、乙两地指导疾病防控。两地都需要既有内科医生又有儿科医生,而且A只能去乙地。则不同的选派方案共有
A.种 B.
种 C.
种 D.
种
⒏在平面直角坐标系中,不等式组
确定的平面区域为
,在
中任取一点
,则
点满足
的概率为
A. B.
C.
D.
20.(14分)
设集合W由满足下列两个条件的数列构成:
①
②存在实数M,使(n为正整数)
(I)在只有5项的有限数列
;试判断数列
是否为集合W的元素;
(II)设是各项为正的等比数列,
是其前n项和,
证明数列
;并写出M的取值范围;
(III)设数列且对满足条件的M的最小值M0,都有
.
求证:数列单调递增.
19.(13分)
在直角坐标系中,点M到点
的距离之和是4,点M的轨迹是C与x轴的负半轴交于点A,不过点A的直线
与轨迹C交于不同的两点P和Q.
(I)求轨迹C的方程;
(II)当时,求k与b的关系,并证明直线
过定点.
18.(13分)
已知函数
(I)当a<0时,求函数的单调区间;
(II)若函数f(x)在[1,e]上的最小值是求a的值.
17.(14分)
某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个,是否加工出精品均互不影响.已知师父加工一个零件是精品的概率为,师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为
(I)求徒弟加工2个零件都是精品的概率;
(II)求徒弟加工该零件的精品数多于师父的概率;
(III)设师徒二人加工出的4个零件中精品个数为,求
的分布列与均值E
.
16.(13分)
如图,在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥面ABCD,BD交AC于点E,F是PC中点,G为AC上一点.
(I)求证:BD⊥FG;
(II)确定点G在线段AC上的位置,使FG//平面PBD,并说明理由.
(III)当二面角B-PC-D的大小为
时,求PC与底面ABCD所成角的正切值.
演算步骤或证明过程.
15.(12分)
已知函数的图象经过点
(I)求实数a、b的值;
(II)若,求函数
的最大值及此时x的值.
14.函数图象上点P处的切线与直线
围成的梯形面积等于S,则S的最大
值等于 ,此时点P的坐标是 .
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