21.(本小题满分14分)证明:(1)设,
且函数
的图象在
上是连续的,
在
上至少有一个零点,即方程
在
内至少有一个根.……… 3分
,
,
在
上是增函数.
方程
在
内有唯一根,且根在
内,即
.………… 5分
(2)方法一:
且函数的图象在
上是连续的,
在
内至少有一个零点,即方程
在
内至少有一个根.
又由(1)知函数在
上单调递增,
方程
在
内有唯一根,
.……………………… 8分
,
. …………………………………… 9分
方法二:由(1)知,两式相减得:
…………………………………7分
若存在,使得
,则
,从而
,矛盾.
所以.
……………………………………… 9分
(3)由题设得,
当时,
.
. …………………………12分
当时有
…
.
综上.…………………………… 14分
20.(本小题满分14分)解:(1). ……1分
①当时,
,
在
单调递增,在
单调递减;…………3分
②当,即
时,
对
恒成立
在
上单调递减; ……………………………………………… 5分
③当时,
或
上单调递增,
在和
上单调递减; …………………… 7分
综上所述,当时,
在
上单调递减,
当时,
在
上单调递增,
在和
上单调递减.
当时,
在
单调递增,在
上单调递减. …………8分
(2)由(1)知,当在
上单调递减,
当时,由
得
……………………………10分
……………………………14分
19.(本小题满分14分)解:(1)以直线为
轴,线段
的中点为原点,
建立如图所示的平面直角坐标系,
则 ……… 1分
,
依题意,曲线段
是以
、
为左、右焦点,长轴长为
的椭圆的一部分.… 3分
故曲线段的方程为
. …… 6分
(2)设这样的直线存在,由直线
与曲线段
只有一个交点
,
知直线存在斜率,设直线
的方程为
即
将其代入得
① …………………… 9分
设,则由
知
解得
…………………12分
当时,方程①化为:
,解得
即,适合条件.
故直线存在,其方程为
即
……………… 14分
18.解:方法一:(1)记与
的交点为
,连接
,
∵
、
分别是
、
的中点,
是矩形,
∴四边形是平行四边形,∴
∥
.
∵平面BDE,
平面
,
∴∥平面
. ………………… 4分
(2)在平面中过
作
于
,连结
,
,
∴
⊥平面
,
∴⊥
,又
平面
,
∴是二面角
的平面角. ……………………………………… 6分
在中,
∴
∴二面角的大小为
. ……………………………………………… 9分
(3)设
(
),作
于Q,则
∥
,
∵,
,
,
∴⊥平面
,
平面
,∴
.
在中,
,
.
∵为等腰直角三角形,∴
又∵Δ为直角三角形,∴
,
∴
或
(舍去).
∴点是
的中点. …………… 14分
方法二:(1)建立如图所示的空间直角坐标系.设,连接
,
则点、
的坐标分别是(
、
,∴
(
,
又点、
的坐标分别是(
)、(
,∴
=(
∴=
且
与
不共线,∴
∥
.
又∵平面BDE,
平面
,∴
∥平面
. ………………… 4分
(2),
∴
⊥平面
.
∴
为平面
的法向量.
∵=(
·
=0,
∴·
=(
·
,
得,
∴
为平面
的法向量.
∴<
,
>
,∴
与
的夹角是
.
即所求二面角的大小是
. ……………………………… 9分
(3)设
,得
,∴
,
又∵
和
所成的角是
.
,
解得或
(舍去),即点
是
的中点.……14分
解:(1)
,
.…… 4分
由题意,函数的最小正周期为
,又
>0,
. ……………6分
(2) 由(1)知,
,
当
即
时,
取得最大值
……………………………… 9分
当即
时,
取得最小值
………………………12分
17.解:(1)两次抽取的球的分值构成的有序数对共有对,其中分值之和为
的有
对,分值之和为
的有两对,分值之和为
的有
对,所以每位会员获奖的概率为
.……………………4分
(2)设每位来宾抽奖后,休闲宾馆的获利的元数为随机变量,则
的可能取值为
、
、
.………5分
…8分
则宾馆获利的期望为.
若这次活动会馆既不赔钱也不赚钱,则=0,即
,
所以,. ………………………………11分
答:(1)每位会员获奖的概率为;(2)
应为
元. …………………………12分
9. ; 10.
; 11.
或
; 12.
; 13.
; 14.
; 15.
.
题次 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
答案 |
B |
C |
A |
C |
B |
C |
D |
D |
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