例5. 在100件产品中，有98件合格品，2件次品，从这100件产品中任意抽出3件，至少有1件次品的抽法有多少种？

　　 分析：抽出3件，至少有1件次品的抽法的种数，就是从100件中抽出3件的抽法总数减去3件都是合格品的抽法的种数，即：(种)。

　　 注意：所有问题的解决都是分类或分步进行的，只不过排列、组合把一些程序化的步骤简化成一步，因此，两个原理贯穿本章始终。

　 例4. 同班4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿1张恰好是别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有(　　 )

　　 A. 6种　　　　　　　　　 B. 9种　　　　　　　　　 C. 11种　　　　　　　　 D. 23种

　　 分析：设4人为甲、乙、丙、丁，则甲送出的卡片可以且只可以由其他三人中的一人收到，故有3种分配方式。以乙收到为例，其他人收到卡片的情况可分为两类：第一类，甲收到乙送出的卡片，这时丙、丁只有互送卡片1种分配方式；第二类，甲收到的不是乙送出的卡片，这时，甲收到卡片的方式有2种(分别是丙或丁送出的)，对每一种情况，丙、丁收到卡片的方式只有1种。因此，根据分步计数原理，不同的分配方式有：3×(1+2)＝9(种)。

　　 注意：解题的关键在第2个人和第3个人的拿法，只要给他们规定一个拿卡的顺序，依次进行，则根据分步计数原理即可求得，也可画示意图帮助思考。

　 例2. 某艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的1种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴和会小号的各1人，有多少种不同的选法？

　　 分析：由题意知，在艺术小组9人中，有且仅有1人既会钢琴又会小号(称为“多面手”)，只会钢琴的有6人，只会小号的有2人。把“多面手”的选法分为两类：

　　 (1)“多面手”入选，则有8种选法；

　　 (2)“多面手”不入选，则选法有：6×2＝12(种)

　　 因此选法共有：8+6×2＝20(种)

　　 注意：像本题中的“多面手”可称为“特殊对象”，在解题中按“特殊对象”进行分类是常用的方法，要注意分类的独立性。在综合运用两个原理时，既要会合理分类，又要会合理分类，一般是先分类，后分步。

　 例3. 用6种不同的颜色为广告牌着色，要求在①、②、③、④四个区域中相邻的区域用不同的颜色，共有多少种不同的着色方法？

　　 分析：完成着色这件事，共分四个步骤，为①着色有6种方法，为②着色有5种方法，为③着色有4种方法，为④着色也有4种方法，故着色方法共有：6×5×4×4＝480(种)

　　 注意：解这种问题应注意分步的连续性，必要时，分步中再分类。

　 例1. 一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同。

　　 (1)从两个口袋里，各取1封信，有多少种不同的取法？

　　 (2)从两个口袋里，任取1封信，有多少种不同的取法？

　　 (3)把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的放法？

　　 分析：(1)各取1封信，无论从哪个口袋里取，都不能算完成了这件事，因此应分两个步骤完成。由分步计数原理知，取法有：5×4＝20(种)。

　　 (2)任取1封信，无论从哪个口袋里取，都能单独完成这件事，因此有两类办法。由分类计数原理知，取法共有：5+4＝9(种)。

　　 (3)从每封信投入邮筒的可能性考虑，第1封信投入邮筒有4种可能，第2封信仍有4种可能，…，第9封信仍有4种可能。由分步计数原理可知，共有4⁹种不同的放法。

　 例3. 从10件产品(其中次品有3件)中，一件一件不放回地任意取出4件，求4件中恰有1件次品的概率。

错误：因为第一次有10种取法，第二次有9种取法，第三次有8种取法，第四次有7种取法，由乘法原理可知，从10件取4件共有10×9×8×7种取法。

设A＝“取出的4件中恰有1件次品”，则A含有种取法(先从3件次品中取1件，再从7件正品中取3件)。

剖析：计算基本事件的个数是用排列的方法，即考虑了抽取的顺序；而计算事件A所包含的基本事件的个数时是用组合的方法，即没有考虑抽取的顺序。

正解：(1)都用排列方法。

从10件产品中取4件共含有个基本事件，A包含个基本事件(4件中要恰有1件次品，可以看成四次抽取中有一次抽到奖品，有种方式，对于每一方式，从3件次品中取一件，再从7件正品中一件一件地取3件，共有种取法)。

(2)都用组合方法

一件一件不放回地抽取4件，可以看成一次抽取4件，故共含有个基本事件，A包含有个基本事件。

　 例2. 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是(　 　)

A. 至少有1个白球，都是白球

B. 至少有1个白球，至少有1个红球

C. 恰有1个白球，恰有2个白球

D. 至少有1个白球，都是红球

错解：选D

剖析：本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别，这二者的联系与区别主要体现在以下三个方面：

(1)两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；

(2)互斥的概念适用于多个事件，但对立的概念只适用于两个事件；

(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生。

正解：A、B不互斥，当然也不对立，C互斥而不对立，D不但互斥而且对立，所以正确答案应为C。

　 例1. 先后抛掷两枚骰子，求事件A：出现的点数之和等于3的概率。

错解：掷两枚骰子出现的点数之和的可能数值为{2，3，4，……，12}，事件A的结果只有3，故

剖析：公式P(A)＝仅当所述的试验结果是等可能时才成立，而取数值2和3不是等可能的，2只有1种情况(1，1)出现，而3有两种情况(1，2)，(2，1)可出现，其他的情况可类推。

正解：先后抛掷两枚骰子可能出现的情况有：(1，1)，(1，2)，……，(1，6)，(2，1)，(2，2)，……，(2，6)，……，(6，1)，(6，2)，……，(6，6)，基本事件总数为6×6＝36

在这些结果中，事件A只有两种结果(1，2)，(2，1)

例4　 椭圆与x轴的正向相交于点A，O为坐标原点，若这个椭圆上存在点P，使得OP⊥AP。求该椭圆的离心率e的取值范围。

解：设椭圆上的点P的坐标是()(α≠0且α≠π)，A(a，0)。

则。而OP⊥AP，

于是，整理得

解得(舍去)，或。

因为，所以。可转化为，解得，于是。故离心率e的取值范围是。

例3　 设点P(x，y)在椭圆，试求点P到直线的距离d的最大值和最小值。

解：点P(x，y)在椭圆上，设点P()(α是参数且)，

则。

当时，距离d有最小值0，此时椭圆与直线相切；当时，距离d有最大值2。

例2　 已知点A在椭圆上运动，点B(0，9)、点M在线段AB上，且，试求动点M的轨迹方程。

解：由题意知B(0，9)，设A()，并且设M(x，y)。

则

，

动点M的轨迹的参数方程是(α是参数)，

消去参数得。