例1．海报版面尺寸的设计

　 　学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm²,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？

　 　解：设版心的高为xdm，则版心的宽为dm,此时四周空白面积为

　 。

　 求导数，得

。

令，解得舍去)。

于是宽为。

当时，<0；当时，>0.

因此，是函数的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。

答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。

例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响

(1)你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？

(2)是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？

[背景知识]：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是　　　　　 分，其中 　是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm

问题：(1)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？

　 (2)瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？

解：由于瓶子的半径为，所以每瓶饮料的利润是

令　 解得　 (舍去)

当时，；当时，．

当半径时，它表示单调递增，即半径越大，利润越高；

当半径时， 它表示单调递减，即半径越大，利润越低．

(1)半径为cm 时，利润最小，这时，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．

(2)半径为cm时，利润最大．

换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？

有图像知：当时，，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当时，利润才为正值．

当时，，为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为cm 时，利润最小．

例3．磁盘的最大存储量问题

计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特(bit)。

为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于，每比特所占用的磁道长度不得小于。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。

问题：现有一张半径为的磁盘，它的存储区是半径介于与之间的环形区域．

(1)　　　 是不是越小，磁盘的存储量越大？

(2)　　　 为多少时，磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储任何信息)？

解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。

　　 设存储区的半径介于与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达。所以，磁盘总存储量

×

　 (1)它是一个关于的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是越小，磁盘的存储量越大．

(2)为求的最大值，计算．

令，解得

当时，；当时，．

因此时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为

例4．汽油的使用效率何时最高

我们知道，汽油的消耗量(单位：L)与汽车的速度(单位：km/h)之间有一定的关系，汽油的消耗量是汽车速度的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题：

(1)是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？

(2)“汽油的使用率最高”的含义是什么？

分析：研究汽油的使用效率(单位：L/m)就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值．如果用表示每千米平均的汽油消耗量，那么，其中，表示汽油消耗量(单位：L)，表示汽油行驶的路程(单位：km)．这样，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求的最小值的问题．

　　　 通过大量的统计数据，并对数据进行分析、研究，人们发现，汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率(即每小时的汽油消耗量，单位：L/h)与汽车行驶的平均速度(单位：km/h)之间有如图所示的函数关系．

从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题．因此，我们首先需要将问题转化为汽油平均消耗率(即每小时的汽油消耗量，单位：L/h)与汽车行驶的平均速度(单位：km/h)之间关系的问题，然后利用图像中的数据信息，解决汽油使用效率最高的问题．

　 　解：因为　　

这样，问题就转化为求的最小值．从图象上看，表示经过原点与曲线上点的直线的斜率．进一步发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小．在此切点处速度约为90．

因此，当汽车行驶距离一定时，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此时的车速约为90．从数值上看，每千米的耗油量就是图中切线的斜率，即，约为　　　 L．

例5．在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？

解法一：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积

　 ．

令 ＝0，解得　 x=0(舍去)，x=40，

并求得V(40)=16 000

由题意可知，当x过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值

答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm³

解法二：设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则得箱子容积

．(后面同解法一，略)

由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．

事实上，可导函数、在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值

例6．圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？

解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积

S=2πRh+2πR²

由V=πR²h，得，则

S(R)= 2πR+ 2πR²=+2πR²

令　 +4πR=0

解得，R=，从而h====2

即h=2R

因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值

答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省

变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？

　 　提示：S=2+h=

V(R)=R=

)=0 ．

例6．在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x)，出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。

(1)、如果C(x)＝，那么生产多少单位产品时，边际最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)

(2)、如果C(x)=50x+10000，产品的单价P＝100－0.01x，那么怎样定价，可使利润最大？

变式：已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大？

分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．

解：收入，

利润

令，即，求得唯一的极值点

答：产量为84时，利润L最大

例7．一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得湿周l=AB+BC+CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b.

解：由梯形面积公式，得S= (AD+BC)h,其中AD=2DE+BC，DE=h,BC=b

∴AD=h+b, ∴S=　　　 　　 ①

∵CD=,AB=CD.∴l=×2+b　　　　　 ②

由①得b=h,代入②,∴l=

l′==0,∴h=, 当h<时，l′<0,h>时，l′>0.

∴h=时，l取最小值，此时b=

例8．已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x²在x轴上方的曲线上，求这种矩形中面积最大者的边长．

[解]设位于抛物线上的矩形的一个顶点为(x，y)，且x ＞0，y ＞0，

则另一个在抛物线上的顶点为(－x，y)，

在x轴上的两个顶点为(－x，0)、(x，0)，其中0＜ x ＜2．

设矩形的面积为S，则S ＝2 x(4－x²)，0＜ x ＜2．

由S′(x)＝8－6 x²＝0，得x ＝，易知

x ＝是S在(0，2)上的极值点，

即是最大值点，

所以这种矩形中面积最大者的边长为和．

[点评]

应用题求解，要正确写出目标函数并明确题意所给的变量制约条件．应用题的分析中如确定有最小值，且极小值唯一，即可确定极小值就是最小值．

练习：1：一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？

[解]假设每次进书x千册，手续费与库存费之和为y元，

由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即，故有

y ＝×30+×40，y′＝－+20，

令y′＝0，得x ＝15，且y″＝，f″(15)＞0，

所以当x ＝15时，y取得极小值，且极小值唯一，

故　 当x ＝15时，y取得最小值，此时进货次数为＝10(次)．

即该书店分10次进货，每次进15000册书，所付手续费与库存费之和最少．

2：有甲、乙两城，甲城位于一直线形河岸，乙城离岸40千米，乙城到岸的垂足与甲城相距50千米，两城在此河边合设一水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米500元和700元，问水厂应设在河边的何处，才能使水管费用最省？

[解]设水厂D点与乙城到岸的垂足B点之间的距离为x千米，总费用为y元，

则CD ＝．

y ＝500(50－x)+700

＝25000－500 x +700，

y′＝－500+700 · (x ²+1600)· 2 x

＝－500+，

令y′＝0，解得x ＝．

答：水厂距甲距离为50－千米时，总费用最省．

[点评]

当要求的最大(小)值的变量y与几个变量相关时，我们总是先设几个变量中的一个为x，然后再根据条件x来表示其他变量，并写出y的函数表达式f(x)．

4、效率最值问题。

解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．

利用导数解决优化问题的基本思路：

3、与利润及其成本有关的最值问题；

2、与物理学有关的最值问题；

导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：

1、与几何有关的最值问题；

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小)值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．

4．利用导数求函数的最值方法．

3．闭区间上的连续函数一定有最值；开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值 　

2．函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；

1．函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；