2、求由抛物线及其在点M(0，－3)

和N(3，0)处的两条切线所围成的图形的面积。

　略解：，切线方程分别为、

，则所求图形的面积为

1、求直线与抛物线所围成的图形面积。

答案：

例1．计算由两条抛物线和所围成的图形的面积.

[分析]两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。

解：，所以两曲线的交点为(0，0)、(1，1)，面积S=，所以=

[点评]在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：

1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。

巩固练习　 计算由曲线和所围成的图形的面积.

例2．计算由直线，曲线以及x轴所围图形的面积S.

分析：首先画出草图(图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S₁和S₂．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线与曲线的交点的横坐标，直线与 x 轴的交点．

解：作出直线，曲线的草图，所求面积为图1. 7一2 阴影部分的面积．

解方程组

得直线与曲线的交点的坐标为(8,4) .

直线与x轴的交点为(4,0).

因此，所求图形的面积为S=S₁+S₂

.

由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．

例3.求曲线与直线轴所围成的图形面积。

　 答案：

练习

2、引入新课

我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。

变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系

设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)()，

则物体在时间间隔内经过的路程可用速度函数表示为。

　　 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S(t)在上的增量来表达，即

　　 =

而。

　　 对于一般函数，设，是否也有

若上式成立，我们就找到了用的原函数(即满足)的数值差来计算在上的定积分的方法。

注：1：定理　 如果函数是上的连续函数的任意一个原函数，则

证明：因为=与都是的原函数，故

　　 -=C()

　　 其中C为某一常数。

　　 令得-=C，且==0

即有C=，故=+

　=-=

令，有

此处并不要求学生理解证明的过程

为了方便起见，还常用表示，即

　 该式称之为微积分基本公式或牛顿-莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。　 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。

例1．计算下列定积分：

(1)；　 (2)。

解：(1)因为，

所以。

(2))因为，

所以

。

练习：计算

解：由于是的一个原函数，所以根据牛顿-莱布尼兹公式有

　　　 ===

例2．计算下列定积分：

。

由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。

解：因为，

所以

，

，

.

可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:

( l )当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时(图1.6一3 ) ，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；

图1 . 6 一 3 ( 2 )

(2)当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时(图 1 . 6 一 4 ) ，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；

　( 3)当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0(图 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积．

例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度=1.8米/秒²刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？

解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当t=0时，汽车速度=32公里/小时=米/秒8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为当汽车停住时,速度,故从解得秒

于是在这段时间内,汽车所走过的距离是

=米,即在刹车后,汽车需走过21.90米才能停住.

微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果．

四：课堂小结：

本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿-莱布尼兹公式.成立，进而推广到了一般的函数，得出了微积分基本定理，得到了一种求定积分的简便方法，运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数，这就要求大家前面的求导数的知识比较熟练，希望，不明白的同学，回头来多复习！

五：教学后记：

从教以来，一直困惑于一个问题：课堂上如何突出重点并突破难点。当然，理论方面自己早已烂熟于心，关键是缺乏实践方面的体验及感悟。在今天的课堂上，当自己在生物化学班重点及难点均未解决，相反将更多时间纠缠在细节方面，而物理班级恰好相反，教学效果的强烈反差，终于让自己对这个问题有了实践的切身的认识。记得当实习生时，本来一个相当简单的问题，可在课堂上却花费了大量时间，更严重的是学生却听得更为糊涂。一个主要原因在于，对相关知识结构理解不到位，眉毛胡子一把抓，而难点又无法解决。

1、复习：

定积分的概念及用定义计算

1.6微积分基本定理

一：教学目标　

知识与技能目标　

通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分

过程与方法

通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法

情感态度与价值观

通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。

二：教学重难点　

重点通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。

难点　了解微积分基本定理的含义　

三：教学过程：

1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。

巩固练习　 计算由曲线和所围成的图形的面积.

四：课堂小结

定积分的概念、定义法求简单的定积分、定积分的几何意义．

五：教学后记

(1)定积分的几何意义的片面理解。对于几何意义，多数学生片面理解成定积分就是面积，进而在相关习题中出现错误

2．　

解：

例2．计算由两条抛物线和所围成的图形的面积.

[分析]两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。

解：，所以两曲线的交点为(0，0)、(1，1)，面积S=，所以=

[点评]在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：

1．

解：

2．定积分的性质

根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：

性质1 　

性质2　 　(其中k是不为0的常数) (定积分的线性性质)

性质3　 　　　　(定积分的线性性质)性质4　 　

(定积分对积分区间的可加性)

性质5 若，则

推论1：，　

推论2：　　

性质6设为在上的最大值、最小值，则

性质7(中值定理)若，则至少有一，使.

证：由性质6知，，依介值定理，必有，

使，即。

说明：

①推广：

　　 ②推广:

　 　③性质解释：

例1．计算定积分

分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为。

即：

思考：若改为计算定积分呢？

改变了积分上、下限，被积函数在上出现了负值如何解决呢？(后面解决的问题)

练习

计算下列定积分