2.已知复数,则它的共轭复数等于 ( )
A. B. C. D.
1.已知全集,集合,则集合等于 ( )
A.或 B.或
C.或 D.或
22.已知其中是自然常数,
(Ⅰ)讨论时, 的单调性、极值;
(Ⅱ)求证:在(1)的条件下,
(Ⅲ)是否存在实数,使的最小值是3,如果存在,求出的值;如果不存在,说明理由。
解:(Ⅰ)
当时,,此时为单调递减
当时,,此时为单调递增
的极小值为
(Ⅱ)的极小值,即在的最小值为1
令
又 当时
在上单调递减
当时,
(Ⅲ)假设存在实数,使有最小值3,
①当时,由于,则
函数是上的增函数
解得(舍去)
②当时,则当时,
此时是减函数
当时,,此时是增函数
解得,由①、②知,存在实数,使得当时有最小值3
21.(本小题满分12分)
设椭圆()的两个焦点是和(),且椭圆与圆有公共点.(Ⅰ)求的取值范围;
(Ⅱ)若椭圆上的点到焦点的最短距离为,求椭圆的方程;
(Ⅲ)对(2)中的椭圆,直线()与交于不同的
两点、,若线段的垂直平分线恒过点,求实数的取值范围.
解:(Ⅰ)由已知,,
∴ 方程组有实数解,从而, 故,所以,即的取值范围是.
(Ⅱ)设椭圆上的点到一个焦点的距离为,
则
(). ∵ ,∴ 当时,,
于是,,解得 .
∴ 所求椭圆方程为.
(Ⅲ)由得 (*)
∵ 直线与椭圆交于不同两点, ∴ △,即.①
设、,则、是方程(*)的两个实数解,
∴ ,∴ 线段的中点为,
又∵ 线段的垂直平分线恒过点,∴ ,
即,即(k) ②
由①,②得,,又由②得,
∴ 实数的取值范围是.
20.(本小题满分12分)
曲线在点处的切线与x轴的交点的横坐标为.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)设,求数列{}的前n项和.
解:∵,∴直线的方程为,
令,得.
(Ⅱ)∵,∴
∴
∴
∴
19. (本小题满分12分)
已知四棱锥的底面是菱形;平面,,
点为的中点.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求二面角的大小.
(Ⅰ)证明: 连结,与交于点,连结. 是菱形, ∴是的中点. 点为的中点, ∴. 平面平面, ∴平面.
(Ⅱ)解法一:
平面,平面,∴ .
,∴. 是菱形, ∴.
,
∴平面.
作,垂足为,连接,则,
所以为二面角的平面角.
,∴,.
在Rt△中,=,∴.
∴二面角的大小为
二面角的平面角与二面角的平面角互补
∴二面角的大小为—
解法二:如图,以点为坐标原点,线段的垂直平分线所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系,令,
则,,.
∴.设平面的一个法向量为,
由,得,
令,则,∴.
平面,平面,
∴.
,∴.
是菱形,∴.
,∴平面.
∴是平面的一个法向量,.
∴,
∴,∴. 13分
∴二面角的大小为
∴二面角的大小为—。
18.(本小题满分12分)
甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球,已知甲袋中共有m个球,乙袋中共有2m个球,从甲袋中摸出一个球为红球的概率为,从乙袋中摸出一个球为红球的概率为.
(I) 若m=10,求甲袋中红球的个数;
(II) 若将甲、乙两袋中的球装在一起后,从中摸出一个红球的概率是,求出的值;
(III) 设=,若从甲、乙两袋中各自有放回的摸球,每次摸出一个球,并且从甲袋中摸一次,从乙袋中摸2次.设ξ表示摸出红球的总次数,求ξ的分布列和期望.
解:(I)设甲袋中红球的个数为x,依题意得 .
(II)由已知得:,解得.
(III)
_ξ |
0 |
1 |
2 |
3 |
p |
|
|
|
|
所以
17.(本小题满分10分)
在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且满足(2a-c)cosB=bcosC.
(Ⅰ)求角B的大小;
|
(I)∵(2a-c)cosB=bcosC,∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC
即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)
∵A+B+C=π,∴2sinAcosB=sinA.∵0<A<π,∴sinA≠0. ∴cosB=.
∵0<B<π,∴B=.
(II)=6sinA+cos2A.=-2sin2A+6sinA+1,A∈(0,)设sinA=t,则t∈.
则=-2t2+6t+1=-2(t-)2+,t∈.∴t=1时,取最大值.5
16.已知方程的两个实根,满足0﹤﹤1﹤,则的取值范围是_.
15.已知双曲线的右顶点到其渐近线的距离不大于,其离心率e的取值范围为 .
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