6、设复数，记。

(1)求复数的三角形式；(2)如果，求实数、的值。

5、已知常数，又复数z满足，求复平面内z对应的点的轨迹。

4、复数1+i++…+等于　　　　　 [　　 ]

A．i　　　 B． i　　　 C．2i　　　　 D．2i

3、已知对于x的方程+(12i)x+3mi=0有实根，则实数m满足[　　 ]

2、下列命题中，假命题是　　　　　　 [　　　 ]

A．两个复数不可以比较大小B．两个实数可以比较大小

C．两个虚数不可以比较大小D．一虚数和一实数不可以比较大小

1、下列说法正确的是　　　　　　　　 [　　 ]

A．0i是纯虚数B．原点是复平面内直角坐标系的实轴与虚轴的公共点

C．实数的共轭复数一定是实数，虚数的共轭复数一定是虚数D．是虚数

(四)巩固练习：

设复数z=3cosθ+2isinθ，求函数y=θ-argz(0＜θ＜)的最大值以及对应角θ的值．

[分析]先将问题实数化，将y表示成θ的目标函数，后利用代数法(函数的单调性、基本不等式等)以及数形结合法进行求解．

解法一、由0＜θ＜，得tanθ＞0，从而0＜argz＜．

由z=3cosθ+2isinθ，得　 tan(argz)==tanθ＞0．

于是　 tany=tan(θ-argz)===≤=．

当且仅当，即tanθ=时，取“=”．

又因为正切函数在锐角的范围内为增函数，故当θ=arctan时，y取最大值为arctan．

解法二、因0＜θ＜，故cosθ＞0，sinθ＞0，0＜argz＜，且

　　 cos(argz)=，sin(argz)=．

　　 显然y∈(-，)，且siny为增函数．

siny=sin(θ-argz)=sinθcos(argz)-cosθsin(argz)=

==≤=．

　　 当且仅当，即tanθ=，取“=”，此时y_max=arctan．

　　 解法三、设Z₁=2(cosθ+isinθ)，Z₂=cosθ，则Z=Z₁+Z₂，而Z₁、Z₂、Z的辐角主值分别为θ、0，argz．如图所示，必有y=∠ZOZ₁，且0＜y＜．

　　 在△ZOZ₁中，由余弦定理得

　　 cosy==

　　 =+≥．

　　 当且仅当4+5cos²θ=6，即cosθ=时，取“=”．

　　 又因为余弦函数在0＜θ＜为减函数，故当θ=arccos时，y_max=arccos．

[说明]①解题关键点：将复数问题通过化归转化为实数问题，使问题能在我们非常熟悉的情景中求解．②解题规律：多角度思考，全方位探索，不仅使我们获得了许多优秀解法，而且还使我们对问题的本质认识更清楚，进而更有利于我们深化对复数概念的理解，灵活驾驭求解复数问题的能力．③解题易错点：因为解法的多样性，反三角函数表示角的不唯一性，因而最后的表述结果均不一样，不要认为是错误的．

(三)例题分析：

Ⅰ.2004年高考数学题选

1. (2004年四川卷理3)设复数ω＝－+i，则1+ω＝

A.–ω　　　　B.ω²　　　　C.　　　　D.

2．(2004重庆卷2))设复数, 则(　　 )

　 A．–3　　　 　　 B．3　　　　　 　C．－3i　　　　 D．3i

3. (2004高考数学试题广东B卷14)已知复数z与 (z +2)²-8i 均是纯虚数,则 z = 　　　　　.

Ⅱ.范例分析

①实数？②虚数？③纯虚数？

①复数z是实数的充要条件是：

∴当m＝2时复数z为实数．

②复数z是虚数的充要条件：

∴当m≠3且m≠2时复数z为虚数

③复数z是纯虚数的充要条件是：

∴当m＝1时复数z为纯虚数．

[说明]要注意复数z实部的定义域是m≠3，它是考虑复数z是实数，虚数纯虚数的必要条件．

要特别注意复数z＝a+bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0．

[　 ]

，所以，代入①得，故选．

解法3：选择支中的复数的模均为，又，而方程右边为2+i，它的实部，虚部均为正数，因此复数z的实部，虚部也必须为正，故选择B．

[说明]解法1利用复数相等的条件；解法2利用复数模的性质；解法3考虑选择题的特点．

求：z

[分析]确定一个复数要且仅要两个实数a、b，而题目恰给了两个独立条件采用待定系数法可求出a、b确定z．

运算简化．

解：设z=x+yi(x，y∈R)

将z=x+yi代入|z4|＝|z4i|可得x＝y，∴z=x+xi

(2)当|z1|＝13时，即有xx6=0则有x=3或x=2

综上所述故z＝0或z=3+3i或z=-22i

[说明]注意熟练地运用共轭复数的性质．其性质有：

(3)1+2i+3+…+1000

[说明]计算时要注意提取公因式，要注意利用i的幂的周期性，

要记住常用的数据：，，。

(2)原式

(3)解法1：原式=(1+2i34i)+(5+6i78i)+…+(997+998i9991000i)

=250(22i)=500500i

解法2：设S＝1+2i+3+…+1000，则iS＝i+2+3+…+999+1000，

∴(1i)S＝1+i++…+1000

[说明]充分利用i的幂的周期性进行组合，注意利用等比数列求和的方法．

[例5](1)若，求：

　　　 (2)已知，求的值。

解：(1)

[例6]已知三边都不相等的三角形ABC的三内角A、B、C满足

、

的值.

[解]

得……3分

上式化简为……6分

……9分

当……12分

[例7]设z₁=1-cosθ+isinθ，z₂=a²+ai(a∈R)，若z₁z₂≠0，z₁z₂+=0，问在(0，2π)内是否存在θ使(z₁-z₂)²为实数？若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由．

[分析]这是一道探索性问题．可根据复数的概念与纯虚数的性质及复数为实数的充要条件，直接进行解答．

　　 [解]假设满足条件的θ存在．

因z₁z₂≠0，z₁z₂+=0，故z₁z₂为纯虚数．

又z₁z₂=(1-cosθ+isinθ)(a²+ai)

=[a²(1-cosθ)-asinθ]+[a(1-cosθ)+a²sinθ]i，

于是，

由②知a≠0．

因θ∈(0，2π)，故cosθ≠1．于是，由①得a=．

另一方面，因(z₁-z₂)²∈R，故z₁-z₂为实数或为纯虚数．又z₁-z₂=1-cosθ-a²+(sinθ-a)i，于是sinθ-a=0，或1-cosθ-a²=0．

若sinθ-a=0，则由方程组

得=sinθ，故cosθ=0，于是θ=或θ=．

若1-cosθ-a²=0，则由方程组

得()²=1-cosθ．

由于sin²θ=1-cos²θ=(1+cosθ)(1-cosθ)，故1+cosθ=(1-cosθ)²．

解得cosθ=0，从而θ=或θ=．

　　 综上所知，在(0，2π)内，存在θ=或θ=，使(z₁-z₂)²为实数．

[说明]①解题技巧：解题中充分使用了复数的性质：z≠0，z+=0Ûz∈{纯虚数}Û以及z²∈RÛz∈R或z∈{纯虚数}．(注：Re(z)，Im(z)分别表示复数z的实部与虚部)

②解题规律：对于“是否型存在题型”，一般处理方法是首先假设结论成立，再进行正确的推理，若无矛盾，则结论成立；否则结论不成立．

[例8]设a为实数，在复数集C中解方程：　 z²+2|z|=a．

[分析]由于z²=a-2|z|为实数，故z为纯虚数或实数，因而需分情况进行讨论．

[解]设|z|=r．若a＜0，则z²=a-2|z|＜0，于是z为纯虚数，从而r²=2r–a．

解得　r=(r=＜0，不合，舍去)．故　z=±()i．

若a≥0，对r作如下讨论：

(1)若r≤a，则z²=a-2|z|≥0，于是z为实数．

解方程r²=a-2r，得r=(r=＜0，不合，舍去)．

故　z=±()．

(2)若r＞a，则z²=a-2|z|＜0，于是z为纯虚数．

解方程r²=2r-a，得r=或r=(a≤1)．

故　z=±()i(a≤1)．

综上所述，原方程的解的情况如下：

当a＜0时，解为：z=±()i；

当0≤a≤1时，解为：z=±()，z=±()i；

当a＞1时，解为：z=±()．

[说明]解题技巧：本题还可以令z=x+yi(x、y∈R)代入原方程后，由复数相等的条件将复数方程化归为关于x，y的实系数的二元方程组来求解．

[例9](2004年上海市普通高校春季高考数学试卷18)

已知实数满足不等式，试判断方程有无实根，并给出证明.

[解]由，解得，.方程的判别式.

，，，由此得方程无实根.

[例10]给定实数a，b，c．已知复数z₁、z₂、z₃满足

求｜az₁+bz₂+cz₃｜的值．

[分析]注意到条件(1)，不难想到用复数的三角形式；注意到条件(2)，可联想使用复数为实数的充要条件进行求解．

[解]解法一由=1，可设=cosθ+isinθ，=cosφ+isinφ，

　　 则==cos(θ+φ)-isin(θ+φ)．因=1，其虚部为0，

故0=sinθ+sinφ-sin(θ+φ)=2sincos-2sincos

=2sin(cos-cos)=4sinsinsin．

故θ=2kπ或φ=2kπ或θ+φ=2kπ，k∈Z．因而z₁=z₂或z₂=z₃或z₃=z₁．

若z₁=z₂，代入(2)得=±i，此时

　　　 ｜az₁+bz₂+cz₃｜=|z₁|·|a+b±ci｜=．

　　 类似地，如果z₂=z₃，则｜az₁+bz₂+cz₃｜=；

如果z₃=z₁，则｜az₁+bz₂+cz₃｜=．

解法二由(2)知∈R，故　　 =，　 即=．

　　 由(1)得=(k=1，2，3)，代入上式，得=，

　　 即z₁²z₃+z₂²z₁+z₃²z₂=z₂²z₃+z₃²z₁+z₁²z₂，分解因式，得(z₁-z₂)(z₂-z₃)(z₃-z₁)=0，

　　 于是z₁=z₂或z₂=z₃或z₃=z₁．下同解法一．

[说明]①解题关键点是巧妙利用复数为实数的充要条件：z∈RÛz=，以及视，等为整体，从而简化了运算．

②解题易错点是拿到问题不加分析地就盲目动笔，而不注意充分观察题目的已知条件，结论特征等，从而使问题的求解或是变得异常的复杂，或干脆就无法解出最终的结果．

(二)知识点详析

1．知识体系表解

2．复数的有关概念和性质：

(1)i称为虚数单位,规定,形如a+bi的数称为复数,其中a，b∈R．

(2)复数的分类(下面的a，b均为实数)

(3)复数的相等设复数，那么的充要条件是：．

(4)复数的几何表示复数z=a+bi(a，b∈R)可用平面直角坐标系内点Z(a，b)来表示．这时称此平面为复平面，x轴称为实轴，y轴除去原点称为虚轴．这样，全体复数集C与复平面上全体点集是一一对应的．

复数z=a+bi．在复平面内还可以用以原点O为起点，以点Z(a，b)

向量所成的集合也是一一对应的(例外的是复数0对应点O，看成零向量)．

(7)复数与实数不同处

①任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小．

②实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方．而复数对四则运算和开方均通行无阻．

3．有关计算：

⑴怎样计算？(先求n被4除所得的余数， )

⑵是1的两个虚立方根，并且：

⑶　　　 复数集内的三角形不等式是：，其中左边在复数z₁、z₂对应的向量共线且反向(同向)时取等号，右边在复数z₁、z₂对应的向量共线且同向(反向)时取等号。

⑷　　　 棣莫佛定理是：

⑸　　　 若非零复数，则z的n次方根有n个，即：

它们在复平面内对应的点在分布上有什么特殊关系？

都位于圆心在原点，半径为的圆上，并且把这个圆n等分。

⑹　　　 若，复数z₁、z₂对应的点分别是A、B，则△AOB(O为坐标原点)的面积是。

⑺　　　 =。

⑻　　　 复平面内复数z对应的点的几个基本轨迹：

①轨迹为一条射线。

②轨迹为一条射线。

③轨迹是一个圆。

④轨迹是一条直线。

⑤轨迹有三种可能情形：a)当时，轨迹为椭圆；b)当时，轨迹为一条线段；c)当时，轨迹不存在。

⑥轨迹有三种可能情形：a)当时，轨迹为双曲线；b)当时，轨迹为两条射线；c)当时，轨迹不存在。

4．学习目标

(1)联系实数的性质与运算等内容，加强对复数概念的认识；

(2)理顺复数的三种表示形式及相互转换：z=r(cosθ+isinθ)Û(Z(a,b))Ûz=a+bi

(3)正确区分复数的有关概念；

(4)掌握复数几何意义,注意复数与三角、解几等内容的综合；

(5)正确掌握复数的运算：复数代数形式的加、减、乘、除；三角形式的乘、除、乘方、开方及几何意义；虚数单位i及1的立方虚根ω的性质；模及共轭复数的性质；

(6)掌握化归思想--将复数问题实数化(三角化、几何化)；

(7)掌握方程思想--利用复数及其相等的有关充要条件，建立相应的方程，转化复数问题。

(一)主要知识：

1.数的概念的发展，复数的有关概念(实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数、模)；

2.复数的代数表示与向量表示；

3.复数的加法与减法，复数的乘法与除法，复数的三角形式，复数三角形式的乘法与乘方，复数三角形式的除法与开方；

4.复数集中解实系数方程(包括一元二次方程、二项方程)。

复数在过去几年里是代数的重要内容之一，涉及的知识面广，对能力要求较高，是高考热点之一。但随着新教材对复数知识的淡化，高考试题比例下降，因此考生要把握好复习的尺度。

从近几年的高考试题上看：复数部分考查的重点是基础知识题型和运算能力题型。基础知识部分重点是复数的有关概念、复数的代数形式、三角形式、两复数相等的充要条件及其应用，复平面内复数的几何表示及复向量的运算。主要考点为复数的模与辐角主值，共轭复数的概念和应用。若只涉及到一、二个知识点的试题大都集中在选择题和填空题；若涉及几个知识点的试题，往往是中、高档题目，解答此类问题一般要抓住相应的概念进行正确的变换，对有些题目，往往用数形结合可获得简捷的解法。有关复数n次乘方、求辐角(主值)等问题，涉及到复数的三角形式，首先要将所给复数转化为三角形式后再进行变换。

复数的运算是高考中复数部分的热点问题。主要考查复数的代数和三角形式的运算，复数模及辐角主值的求解及复向量运算等问题。

基于上述情况，我们在学习“复数”一章内容时，要注意以下几点：

(1)复数的概念几乎都是解题的手段。因此在学习复数时要在深入理解、熟练掌握复数概念上下功夫。除去复数相等、模、辐角、共轭等外，还要注意一些重要而常不引起重视的概念。如：若有“3„„4”。就是说，而且很快联系到或，又∵是不可能的，∴。

复数的三角形式和代数式，提供了将“复数问题实数化”的手段。

复数的几何意义也是解题的一个重要手段。

(2)对于涉及知识点多，与方程、三角、解析几何等知识综合运用的思想方法较多的题型，以及复数本身的综合题，一直成为学生的难点，应掌握规律及典型题型的技巧解法，并加以强化训练以突破此难点；

(3)重视以下知识盲点：

①不能正确理解复数的几何意义，常常搞错向量旋转的方向；

②忽视方程的虚根成对出现的条件是实系数；

③盲目地将实数范围内数与形的一些结论，不加怀疑地引用到复数范围中来；

④容易混淆复数的有关概念，如纯虚数与虚数的区别问题，实轴与虚轴的交集问题，复数辐角主值的范围问题等。