8．(2003年普通高等学校招生全国统一考试(上海理17))

已知复数z₁=cosθ－i，z₂=sinθ+i，求|z₁·z₂|的最大值和最小值.

7．设z₁，z₂是两个虚数，且z₁+z₂=-3，|z₁|+|z₂|=4．若θ₁=argz₁，θ₂=argz₂，求cos(θ₁-θ₂)的最大值．

6、若，求所对应的点A的集合表示的图形，并求其面积．

5、设A，B，C三点对应的复数分别为z，z，z满足

(1)证明：△ABC是内接于单位圆的正三角形；

(2)求S_△ABC；

4、已知是虚数，是实数。

(1)求z对应复平面内动点A的轨迹；

(2)设u=3iz+1，求u对应复平面内动点B的轨迹；

(3)设，求对应复平面内动点C的轨迹。

3、在复平面上绘出下列图形：

2、方程的图形是　　　　　　　　　　 [　　 ]

A．圆　　　 B．椭圆　　　 C．双曲线　　 D．直线

1、下列命题中正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [　　 ]

A．方程|z+5||z5i|=8的图形是双曲线

B．方程|z+5|=8的图形是双曲线

C．方程|z+5i||z5i|=8的图形是双曲线的两支

D．方程|z+5i||z5i|=8的图形是双曲线靠近焦点F(0，5)的一支

(二)范例分析

Ⅰ.2004年高考数学题选

1.(2004高考数学试题(浙江卷，6))已知复数z₁=3+4i, z₂=t+i, 且是实数，则实数t=(　 )

A．　　　　　　　 B．　　　　 C．-　　　　　　 D．-

2.(2004年北京春季卷，2)当时，复数在复平面上对应的点位于　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　(　 )

A．第一象限　　　 B．第二象限　　 C．第三象限　　 D．第四象限

3.(2004年北京卷，2)满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹是( C )

A．一条直线　　 　　B．两条直线　 　　C．圆　　 　　　　D．椭圆

Ⅱ.主要的思想方法和典型例题分析：

1．化归思想

复数的代数、几何、向量及三角表示，把复数与实数、三角、平面几何和解析几何有机地联系在一起，这就保证了可将复数问题化归为实数、三角、几何问题。反之亦然。这种化归的思想方法应贯穿复数的始终。

[分析]这是解答题，由于出现了复数和，宜统一形式，正面求解。

解法一、设z＝x+yi(x，y∈R)，原方程即为

用复数相等的定义得：

∴=1，=1+3i.

两边取模，得：

整理得　　

解得　　　 或

代入①式得原方程的解是=1，=1+3i.

[例2](1993·全国·理)设复数z=cosθ+isinθ(0＜

[解]∵z＝cosθ+isinθ=cos4θ+isin4θ

即，又∵0＜θ＜π，当时，或

[说明]此题转化为三角问题来研究，自然、方便。

[例3]设a，b，x，y∈R+，且(r＞0)，

求证：

分析令=ax+byi，==bx+ayi(a，b，x，y∈R+)，则问题化归为证明：

||+||≥r(a+b)。

证明设=ax+byi，=bx+ayi(a，b，x，y∈R+)，则

=|(a+b)x+(a+b)yi|=|(a+b)(x+yi)|＝(a+b)·r。

解如图所示，设点Q，P，A所对应的复数为：

即(x3a+yi)·(i)＝(x3a+yi)

由复数相等的定义得

而点(x，y)在双曲线上，可知点P的轨迹方程为

[说明]将复数问题化归为实数、三角、几何问题顺理成章，而将实数、三角、几何问题化归为复数问题，就要有较强的联想能力和跳跃性思维能力，善于根据题设构造恰到好处的复数，可使问题迎刃而解。

2．分类讨论思想

分类讨论是一种重要的解题策略和方法。在复数中它能使复杂的问题简单化，从而化整为零，各个击破。高考复数考题中经常用到这种分类讨论思想方法。

[例5](1990·全国·理)设a≥0，在复数集C中解方程z+2|z|=a。

分析一般的思路是设z=x+yi(x，y∈R)，或z=r(cosθ+isinθ)，若由z+2|z|=a转化为z=a2|z|，则z∈R。从而z为实数或为纯虚数，这样再分别求解就方便了。

总之，是一个需要讨论的问题。

[解]解法一∵z=a2|z|∈R，∴z为实数或纯虚数。

∴问题可分为两种情况：

(1)若z∈R，则原方程即为|z|+2|z|a=0，

(2)若z为纯虚数，设z=yi(y∈R且y≠0)，则原方程即为|y|2|y|+a=0

当a=0时，|y|=2即z=±2i。

当0＜a≤1时，

当a＞1时，方程无实数解，即此时原方程无纯虚数解。

综上所述，原方程：

当a=0时，解为z＝0或z=±2i

解法二设z=x+yi，x，y∈R，将原方程转化为

3．数形结合思想

数与形是数学主要研究内容，两者之间有着紧密的联系和互相渗透、互相转化的广阔前景，复平面的有关试题正是它的具体表现。运用数形结合思想与方法解题是高考考查的热点之一，应引起注意。

[例6]已知|z|=1，且z+z＝1，求z。

[解]由z+z=1联想复数加法的几何性质，不难发现z，z，1所对应的三点A，B，C及原点O构成平行四边形的四个顶点，如图所示，

[说明]这样巧妙地运用联想思维，以数构形，以形思数，提炼和强化数形结合的思想方法，有利于培养学生思维的深刻性。

[例7]复平面内点A对应复数z，点B对应复数为，O为原点，△AOB是面积为的直角三角形，argz∈(0，)，求复数z的值．

　　 [分析]哪一个角为直角，不清楚，需要讨论．

[解]因|OA|=|z|＞||=|OB|，故∠A不可能是直角，因而可能∠AOB=90º或∠ABO=90º．

若∠AOB=90º，示意图如图1所示．因z与所对应的点关于实轴对称，故argz=45º,

S_△AOB=|OA|·|OB|=|z|·||=|z|²=．于是，|z|=2，

从而，z=2(cos45º+isin45º)=+i．

若∠ABO=90º，示意图如图2所示．因z与所对应的点关于实轴对称，且∠AOB＜90º，故argz=θ＜45º．

令z=r(cosθ+isinθ)，则

cos2θ==，sin2θ=，S_△AOB=|OA|·|OB|·sin2θ

=r·r·=r²=．

于是，r=． 又cosθ==，

　　　 sinθ==，　 故z=(+i)=2+i．

　　 综上所述，z=+i或z=2+i．

　　 [说明]①解题关键点：正确地对直角的情况进行分类讨论，正确地理解复数的几何意义，作出满足条件的示意图．

②解题规律：复数的几何意义来源于复数z=a+bi(a、b∈R)与复平面上的点(a，b)之间的一一对应，它沟通了复数与解析几何之间的联系，是数形结合思想的典型表示．

③解题技巧：复数z与它的共轭复数在复平面内对应的向量关于实轴对称．

④这样巧妙地以形译数，数形结合，不需要计算就解决了问题，充分显示了数形结合的思想方法在解题中的作用。

4．集合对应思想

[例8]如图所示，在复平面内有三点P，P，P对应的复数

应的复数为a，2a，3a，且它们有相同的辐角主值θ(如图所示)，即A，P，P，P共线。

从而2sinθ＝2

因此有a=±2i。

5．整体处理思想

解复数问题中，学生往往不加分析地用复数的代数形式或三角形式解题。这样常常给解题带来繁琐的运算，导致解题思路受阻。因此在复数学习中，有必要提炼和强化整体处理的思想方法，居高临下地把握问题的全局，完善认识结构，获得解题的捷径，从而提高解题的灵活性及变通性。

[例9]已知z=2i，求z3z+z+5z+2的值。

[分析]如果直接代入，显然比较困难，将z用三角式表示也有一定的难度。从整体角度思考，可将条件转化为(z2)=(i)=1，即z4z+4=1，即z4z+5=0，再将结论转化为z3z+z+5z+2=(z4z+5)(z+z)+2，然后代入就不困难了。

[解]∵z=2i，∴(z2)=(i)=1

即z4z+5=0

∴z3z+z+5z+2=(z4z+5)(z+z)+2=2。

[例10]已知，求。

[解]解由条件得

[说明]把题中一些组合式子视作一个“整体”，并把这个“整体”直接代入另一个式子，可避免由局部运算带来的麻烦。

[例11]复平面上动点z的轨迹方程为：|zz|＝|z|，z≠0，另一动点z满足z·z=1，求点z的轨迹。

解由|zz|＝|z|，知点z的轨迹为连结原点O和定点z的线段的垂直平分线。

将此式整体代入点z1的方程，得

的圆(除去原点)。

[例12]设z∈c，a≥0，解方程z|z|+az+i=0。

边取模，得

[说明]解复数方程，可通过整体取模，化为实数方程求解。

综上所述，解答复数问题，应注意从整体上去观察分析题设的结构特征，挖掘问题潜在的特殊性和简单性，充分利用复数的有关概念、共轭复数与模的性质、复数的几何意义以及一些变形技巧，对问题进行整体化处理，可进一步提高灵活、综合应用知识的能力。

6．有关最值问题的多角度思考

[例13]复数z满足条件|z|=1，求|2zz+1|的最大值和最小值。

解法一|z|=1，∴z=cosθ+isinθ

∴|2zz+1|=|2(cosθ+isinθ)(cosθ+isinθ)+1|

=|(2cos2θcosθ+1)+(2sin2θsinθ)i|

∴|2zz+1|=|2zz+|

设z的实部为a，则1≤a≤1

|2zz+1|=|2a+z1|

，

∴|2zz+1|=4

解法三：设ω=x+yi(x，y∈R)，z=a+bi(a，b∈r)且a+b=1，

这说明ω对应的点是如图所示的椭圆，问题转化为求该椭圆上各点中与原点距离的最大值和最小值。

时的圆的半径。

得8x2x+89r＝0，　 由相内切条件知Δ=0,

解法四由模不等式：

|2zz+1|≤2|z|+|z|+1=4，等号成立的条件是2z，z，1所对应的向量共线且同向，可知z是负实数，在|z|=1的条件下，z=-1

∴当z=1时|2zz+1|=4。

但另一方面：|2zz+1|≥2|z||z|1=0，这是显然成立的，可是这不能由此确定|2zz+1|=0，实际上等号成立的条件应为2z，z，1表示的向量共线且异向，由2z与1对应的向量共线且异向知z=±i，但是当z=±i时，2z与z不共线，这表明|2zz+1|的最小值不是0。

以上这种求最小值的错误想法和解法是学生易犯的错误，此部分内容既为重点也为难点，应向学生强调说明，并举例，切记取等号的条件。

[例14]2001年普通高等学校招生全国统一考试(理18)

已知复数z₁＝i(1-i)³． (Ⅰ)求argz₁及|z|； (Ⅱ)当复数z满足|z|＝1，求|z-z₁|的最大值．

[分析]本小题考查复数的基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力．

[解](Ⅰ)

∴，|z₁|＝．

(Ⅱ)设，则 当时，取得最大值，从而得到的最大值为．

(一)主要知识：

1．共轭复数规律，；

2．复数的代数运算规律

(1)i=1，i=i，i=1，i=i；

(3)i·i·i·i=1，i+i+i+i=0；

；

3．辐角的运算规律

(1)Arg(z·z)＝Argz+Argz

(3)Arg=nArgz(n∈N)

…，n1。

或z∈R。

要条件是|z|＝|a|。

(6)z·z≠0，则

4．根的规律：复系数一元n次方程有且只有n个根，实系数一元n次方程的虚根成对共轭出现。

5．求最值时，除了代数、三角的常规方法外，还需注意几何法及不等式

||z||z||≤|z±z|≤|z|+|z|的运用。

即|z±z|≤|z|+|z|等号成立的条件是：z，z所对应的向量共线且同向。

|z±z|≥|z||z|等号成立的条件是：z，z所对立的向量共线且异向。