8．(2009年高考湖南卷改编)设函数y＝f(x)在(－∞，+∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数f_K(x)＝取函数f(x)＝2^－|x|，当K＝时，函数f_K(x)的单调递增区间为________．

解析：由f(x)＝2^－|x|≤得x≥1或x≤－1，∴f_K(x)＝

则单调增区间为(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]

7．(2009年高考辽宁卷改编)已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝()^x；当x<4时，f(x)＝f(x+1)，则f(2+log₂3)＝________.

解析：∵2<3<4＝2²，∴1<log₂3<2.∴3<2+log₂3<4，∴f(2+log₂3)

＝f(3+log₂3)＝f(log₂24)＝()log₂24＝2^－log₂24＝2log₂＝.答案：

6．(2009年高考山东卷改编)函数y＝的图象大致为________．

解析：∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除④.

又∵y＝＝＝＝1+在(－∞，0)、(0，+∞)上都是减函数，排除②、③.答案：①

5．(2010年山东青岛质检)已知f(x)＝()^x，若f(x)的图象关于直线x＝1对称的图象对应的函数为g(x)，则g(x)的表达式为________．

解析：设y＝g(x)上任意一点P(x，y)，P(x，y)关于x＝1的对称点P′(2－x，y)在f(x)＝()^x上，∴y＝()^2－x＝3^x－2.答案：y＝3^x－2(x∈R)

4．(2010年北京朝阳模拟)已知函数f(x)＝a^x(a>0且a≠1)，其反函数为f^－1(x)．若f(2)＝9，则f^－1()+f(1)的值是________．

解析：因为f(2)＝a²＝9，且a>0，∴a＝3，则f(x)＝3^x＝，∴x＝－1，

故f^－1()＝－1.又f(1)＝3，所以f^－1()+f(1)＝2.答案：2

3．已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，且满足以下条件①f (x)＝a^x·g(x)(a>0，a≠1)；②g(x)≠0；若+＝，则a等于________．

解析：由f(x)＝a^x·g(x)得＝a^x，所以+＝⇒a+a^－1＝，解得a＝2或.答案：2或

2．(2010年保定模拟)若f(x)＝－x²+2ax与g(x)＝(a+1)^1－x在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是________．

解析：f(x)＝－x²+2ax＝－(x－a)²+a²，所以f(x)在[a，+∞)上为减函数，又f(x)，g(x)都在[1,2]上为减函数，所以需⇒0<a≤1.答案：(0,1]

1．如果函数f(x)＝a^x+b－1(a>0且a≠1)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有________．

①0<a<1且b>0　②0<a<1且0<b<1　③a>1且b<0　 ④a>1且b>0

解析：当0<a<1时，把指数函数f(x)＝a^x的图象向下平移，观察可知－1<b－1<0，即0<b<1.答案：②

6．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．(1)求a，b的值；

(2)若对任意的t∈R，不等式f(t²－2t)+f(2t²－k)<0恒成立，求k的取值范围．

解：(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1.

从而有f(x)＝.又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.

(2)法一：由(1)知f(x)＝＝－+，

由上式易知f(x)在R上为减函数，又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t²－2t)+f(2t²－k)<0⇔f(t²－2t)<－f(2t²－k)＝f(－2t²+k)．

因f(x)是R上的减函数，由上式推得t²－2t>－2t²+k.

即对一切t∈R有3t²－2t－k>0，从而Δ＝4+12k<0，解得k<－.

法二：由(1)知f(x)＝，又由题设条件得+<0

即(2^2t2－k+1+2)(－2^t2－2t+1)+(2^t2－2t+1+2)(－2^2t2－k+1)<0

整理得2^3t2－2t－k>1，因底数2>1，故3t²－2t－k>0

上式对一切t∈R均成立，从而判别式Δ＝4+12k<0，解得k<－.

B组

5．(原创题)若函数f(x)＝a^x－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a等于________．

解析：由题意知无解或⇒a＝.答案：