5.设数列的前项和为,点均在函数的图象上.
则数列的通项公式为 .
4. 已知x>0,y>0,x,a,b,y成等差数列,x,c,d,y成等比数列,则的最小值是________.高
3.已知函数,则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
2. 等差数列{an}和{bn}的前n项和分别用Sn和Tn表示,若,则的值为( )
A B C D
1.公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,则等于 ( )
A. 18 B. 24 C. 60 D. 90
5.数列与概率的综合
数列与概率的综合考查,虽然不是经常但很有新意,这种命题也体现了在知识交汇处命题的指导思想.
例9.将一骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为( )
A. B. C. D.
解析:一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个,其中为等差数列有三类:
(1)公差为0的有6个;(2)公差为1或-1的有8个;(3)公差为2或-2的有4个,共有18个,成等差数列的概率为,选B.
点评:本题是以数列和概率的背景出现,题型新颖而别开生面,有采取分类讨论,分类时要做到不遗漏,不重复.
[思想方法]
[例1]已知等比数列的首项为,公比满足.又已知,,成等差数列. (1)求数列的通项.
(2)令,求证:对于任意,都有
解析:(1)∵ ∴ ∴
∵ ∴ ∴
(2)证明:∵ ,
∴
.
[分析]转化思想是数学中的重要思想,把复杂的问题转化成清晰的问题是我们解题的指导思想.本题中的第(2)问,采用裂项相消法,将式子进行转化后就可以抵消很多项,从而只剩下首末两项,进而由n的范围证出不等式.
[例2]在数列中,,,其中.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前项和;
(Ⅲ)证明存在,使得对任意均成立.
解析:(Ⅰ) ,
,
.
由此可猜想出数列的通项公式为.
以下用数学归纳法证明.
(1)当时,,等式成立.
(2)假设当时等式成立,即,
那么
.
这就是说,当时等式也成立.根据(1)和(2)可知,等式对任何都成立.
(Ⅱ)解:设, ①
②
当时,①式减去②式,
得,
.
这时数列的前项和.
当时,.这时数列的前项和.
(Ⅲ)证明:通过分析,推测数列的第一项最大,下面证明:
. ③
由知,要使③式成立,只要,
因为
.
所以③式成立.
因此,存在,使得对任意均成立.
[分析]分类讨论思想是数学中的重要思想,本题以数列的递推关系式为载体,综合考查了等比数列的前项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法,第2问体现了对运用分类讨论的考查.
[例3]设椭圆中心在坐标原点,A(2,0)、B(0,1)是它的两个顶点,直线与AB相交于点D,与椭圆相较于E、F两点.
(Ⅰ)若 ,求k的值;
(Ⅱ)求四边形AEBF面积的最大值.
解析:(Ⅰ)依题设得椭圆的方程为,
直线的方程分别为,.
如图,设,其中,
且满足方程,
故.①
由知,得;
由在上知,得.
所以,
化简得,
解得或.
(Ⅱ)解法一:根据点到直线的距离公式和①式知,点到的距离分别为,
.
又,所以四边形的面积为
,
当,即当时,上式取等号.所以的最大值为.
解法二:由题设,,.
设,,由①得,,
故四边形的面积为
,
当时,上式取等号.所以的最大值为.
[分析]方程与函数思想是数学中的重要思想,该题对于k的求解就是通过建立k的方程,然后解出的;而对于四边形的面积的求解,是通过构造面积关于k的函数关系,然后根据均值不等式来解决其最值问题.
[专题演练]
4.数列与不等式、简易逻辑等的综合
数列是培养推理论证能力的极好载体,将数列的知识与推理证明的方法交织在一起进行考查,是新课程高考中的一个亮点,常常荣归纳、猜想、数学归纳法、分类讨论、等价转化等数学思想和方法于一体,对能力的要求较高.
例7.设若是与的等比中项,则的最小值为( )
A.8 B.4 C.1 D.
答案:B
解析:因为,所以,
,当且仅当即时“=”成立,故选择B.
点评:本小题考查指数式和对数式的互化,以及均值不等式求最值的运用,考查了变通能力.
例8.设数列满足为实数.
(Ⅰ)证明:对任意成立的充分必要条件是;
(Ⅱ)设,证明:;
(Ⅲ)设,证明:.
解析: (1) 必要性: ,又 ,即.
充分性 :设,对用数学归纳法证明,
当时,.假设,
则,且,
,由数学归纳法知对所有成立.
(2) 设 ,当时,,结论成立.
当 时,,
,由(1)知,所以 且 ,
,
,
.
(3) 设 ,当时,,结论成立,
当时,由(2)知,
,
.
点评:该题综合考查了等比数列的求和、不等式的性质的应用、充分必要条件和数学归纳法等,具有较高的难度,对逻辑推理能力的考查要求较高.
3.函数与数列的综合
高考试题中经常将函数与数列综合在一起,设计综合性较强的解答题,考查数列的概念、性质、通项及求和公式等主干知识和分析问题、解决问题的逻辑推理能力.
例6.知函数.
(Ⅰ)设是正数组成的数列,前n项和为,其中.若点(n∈N*)在函数的图象上,求证:点也在的图象上;
(Ⅱ)求函数在区间内的极值.
解析:(Ⅰ)证明: 因为所以,
由点在函数的图象上,
, 又,
所以,是的等差数列,
所以,又因为,所以,
故点也在函数的图象上.
(Ⅱ)解:,令得.
当x变化时,﹑的变化情况如下表:
x |
(-∞,-2) |
-2 |
(-2,0) |
f(x) |
+ |
0 |
- |
f(x) |
↗ |
极大值 |
↘ |
注意到,从而
①当,此时无极小值;
②当的极小值为,此时无极大值;
③当既无极大值又无极小值.
点评:本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识,考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法,考查分析问题和解决问题的能力.
2.函数与不等式综合
不等式与函数有着密切的联系,其中线性规划求目标函数的最值是近几年高考的热点问题之一,经常以选择题或填空题出现.有不少关于最值方面的问题,通常用二次函数的配方法求最值或用均值不等式求最值,考题经常以与不等式有关的实际应用问题出现.在应用不等式解决实际问题时,要注意以下四点:
①理解题意,设变量.设变量时一般把要求最值的变量定为自变量;
②建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最值问题;
③在定义域内,求出函数的最值;
④正确写出答案.
例3.设x,y满足约束条件 ,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的值是最大值为12,则的最小值为( )
A. B. C. D. 4
答案:A
解析:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z(a>0,b>0)过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点(4,6)时,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大12,即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而=,故选A.
点评:本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知2a+3b=6,求的
最小值常用乘积进而用基本不等式解答.
例4.本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元,甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟,规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是 万元.
答案:70
解析:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟,总收益为元,由题意得
目标函数为.
二元一次不等式组等价于
作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域.
如图:作直线,即.
平移直线,从图中可知,当直线过点时,目标函数取得最大值.
联立解得.点的坐标为.
(元).
点评:本题是线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,通过数形结合解答问题.用线性规划的方法解决实际问题能提高学生分析问题、解决问题的能力,随着课改的深入,这类试题应该是高考的热点题型之一.
例5.设为实数,函数.
(1)若,求的取值范围;
(2)求的最小值;
(3)设函数,直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.
解析:(1)若,则;
(2)当时,,
当时,,
综上;
(3)时,得,
当时,;
当时,△>0,得:;
讨论得:当时,解集为;
当时,解集为;
当时,解集为.
点评:本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识,考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力.
1.等差数列与等比数列的综合
等差数列与等比数列都是高考命题的重点知识,考题经常将它们综合在一起综合考查等差数列和等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活应用,对基本的运算要求比较高.
例1.设是公差不为0的等差数列,且成等比数列,则的前项和=( )
A. B. C. D.
答案:A
解析:设数列的公差为,则根据题意得,解得或(舍去),所以数列的前项和.
例2.等比数列的前n项和为,且4,2,成等差数列.若=1,则=( )
(A)7 (B)8 (3)15 (4)16
解析:4,2,成等差数列,,即,
,,因此选C.
点评:该类题目综合考查了等差数列和等比数列的概念、通项公式和等比数列的求和公式等,基础性较强,综合程度较小,要求具有较熟练的运算能力.
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