1．已知数列满足条件,且,设,那么数列的通项公式是　　 　　　　　　

7．如图，在平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁的中，A₁C₁B₁D₁＝O₁，B₁D平面A₁BC₁＝P．

求证：P∈BO₁．

证明　 　在平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，

∵B₁D平面A₁BC₁＝P，∴P∈平面A₁BC₁，P∈B₁D．

∵B₁D平面BB₁D₁D．∴P∈平面A₁BC₁，且P∈平面BB₁D₁D．

∴P∈平面A₁BC₁平面BB₁D₁D，

∵A₁C₁B₁D₁＝O₁，A₁C₁平面A₁BC₁，B₁D₁平面BB₁D₁D，

∴O₁∈平面A₁BC₁，且O₁∈平面BB₁D₁D．

又B∈平面A₁BC₁，且B∈平面BB₁D₁D，

∴平面A₁BC₁平面BB₁D₁D＝BO₁．∴P∈BO₁．

说明一般地，要证明一个点在某条直线上，只要证明这个点在过这条直线的两个平面上．

6．如图，P、Q、R分别是正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱AA₁，BB₁，DD₁上的三点，试作出过P，Q，R三点的截面图．

作法　 ⑴连接PQ，并延长之交A₁B₁的延长线于T；

⑵连接PR，并延长之交A₁D₁的延长线于S；

⑶连接ST交C₁D₁、B₁C₁分别于M，N，则线段MN

为平面PQR与面A₁B₁C₁D₁的交线．

⑷连接RM，QN，则线段RM，QN分别是平面PQR与面DCC₁D₁，面BCC₁B₁的交线．

得到的五边形PQNMR即为所求的截面图(如图4)．

说明　 求作二平面的交线问题，主要运用公理1．

解题关键是直接或间接找出二平面的两个确定的公共点．

有时同时还要运用公理2、3及公理的推论等知识．

5．如图，P、Q、R分别是四面体ABCD的棱AB，AC，AD上的点，若直线PQ与直线BC的交点为M，直线RQ与直线DC的交点为N，直线PR与直线DB的交点为L，试证明M，N，L共线．

证明：易证M，N，L∈平面PQR，且M，N，L∈平面BCD，

所以M，N，L∈平面PQR平面BCD，即M，N，L共线．

4．四边形中，，则成为空间四面体时，的取值范围是　　　　　 ．

答案：．

3．一个平面把空间分成__2__部分，两个平面把空间最多分成_4___部分，三个平面把空间最多分成__8__部分．

2．有下列命题：

①空间四点中有三点共线，则这四点必共面；②空间四点中，其中任何三点不共线，则这四点不共面；③用斜二测画法可得梯形的直观图仍为梯形；④垂直于同一直线的两直线平行⑤两组对边相等的四边形是平行四边形．

其中正确的命题是　　　　　　　 ．

答案：①③

1．在空间四边形的边、、、上分别取点，如果与相交于一点，那么　　　　　　　　　　　 (　 　)

一定在直线上　　　 一定在直线上

可能在直线上，也可能在直线上

既不在直线上，也不在直线上

例1．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F．求证：E，F，G，H四点必定共线．

解：∵AB∥CD，

∴AB，CD确定一个平面β．

又∵ABα＝E，ABβ，∴E∈α，E∈β，

即E为平面α与β的一个公共点．

同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点．

∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，

∴E，F，G，H四点必定共线．

说明：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，常运用公理2，即先证明这些点都是某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．

例2．已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面．

证明　 1^o若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点A，

但AÏd，如图1．

∴直线d和A确定一个平面α．

又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，

则A，E，F，G∈α．

∵A，E∈α，A，E∈a，∴aα．

同理可证bα，cα．

∴a，b，c，d在同一平面α内．

2^o当四条直线中任何三条都不共点时，如图2．

∵这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α．

设直线c与a，b分别交于点H，K，则H，K∈α．

又 H，K∈c，∴c,则cα．

同理可证dα．

∴a，b，c，d四条直线在同一平面α内．

说明：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．

例3．如图，点A，B，C确定的平面与点D，E，F确定的平面相交于直线l，且直线AB与l相交于点G，直线EF与l相交于点H，试作出平面ABD与平面CEF的交线．

解：如图3，在平面ABC内，连结AB，与l相交于点G，则G∈平面DEF；在平面DEF内，连结DG，与EF相交于点M，则M∈平面ABD，且M∈平面CEF．所以，M在平面ABD与平面CEF的交线上．同理，可作出点N，N在平面ABD与平面CEF的交线上．连结MN，直线MN即为所求．

例4．如图，已知平面α，β，且αβ＝l．设梯形ABCD中，AD∥BC，且ABα，CDβ，求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．

证明　 ∵梯形ABCD中，AD∥BC，

∴AB，CD是梯形ABCD的两条腰．

∴　 AB，CD必定相交于一点，

设ABCD＝M．

又∵ABα，CDβ，∴M∈α，且M∈β．∴M∈αβ．

又∵αβ＝l，∴M∈l，

即AB，CD，l共点．

说明：证明多条直线共点时，一般要应用公理2，这与证明多点共线是一样的．

4．空间内五个点中的任意三点都不共线，由这五个点为顶点只构造出四个三棱锥，则这五个点最多可以确定　 7个　　 个平面 ．