1．(2009年高考安徽卷)对于四面体ABCD，下列命题正确的是________．

①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；

②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；

③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合；

④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；

⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．

解析：②中的四面体如果对棱垂直，则垂足是△BCD的三条高线的交点；③中如果AB与CD垂直，则两条高的垂足重合．答案：①④⑤

6.如图所示，长方体的长、宽、高分别为4 cm,3 cm,5 cm，一只蚂蚁从A到C₁点沿着表面爬行的最短距离是多少？

解：长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的表面可如下图三种方法展开后，A、C₁两点间的距离分别为：

＝3，＝4，＝，三者比较得是从点A沿表面到C₁的最短距离，∴最短距离是 cm.

B组

5．下面命题正确的有________个．

①长方形绕一条直线旋转一周所形成的几何体是圆柱

②过圆锥侧面上一点有无数条母线

③三棱锥的每个面都可以作为底面

④圆锥的轴截面(过轴所作的截面)是等腰三角形

解析：①②错，③④正确．①错在绕一条直线，应该是绕长方形的一条边所在的直线；②两点确定一条直线，圆锥的母线必过圆锥的顶点，因此过圆锥侧面上一点只有一条母线．答案：2

4．下列三个命题，其中正确的有________个．

①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余各面都是等腰梯形的六面体是棱台．

解析：①中的平面不一定与底面平行，②③可用反例图去验证．答案：0

3．(2009年高考安徽卷)对于四面体ABCD，下列命题正确的是________．(写出所有正确命题的编号)．

①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；

②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；

③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合；

④任何三个面的面积之和都大于 第四个面的面积；

⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．

解析：②中的四面体如果对棱垂直，则垂足是△BCD的三条高线的交点；③中如果AB与CD垂直，则两条高的垂足重合．答案：①④⑤

2．(2009年高考全国卷Ⅱ改编)纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图的平面图形，则标“△”的面的方位是________．

解析：将所给图形还原为正方体，如图所示，最上面为△，最左面为东，最里面为上，将正方体旋转后让东面指向东，让“上”面向上可知“△”的方位为北．答案：北

1．下列命题中，不正确的是______．

①棱长都相等的长方体是正方体

②有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱

③有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱

④底面为平行四边形的四棱柱叫平行六面体

解析：由平行六面体、正方体的定义知①④正确；对于②，相邻两侧面垂直于底面，则侧棱垂直于底面，所以该棱柱为直棱柱，因而②正确；对于③，若两侧面平行且垂直于底面，则不一定是直棱柱．答案：③

8.直三棱柱，，分别是的中点，

(1)求的长；(2)求的值；(3)求证：

7．矩形中，已知面积，若边上存在唯一点，使得，

(1)求的值；

(2)是上的一点，在平面上的射影恰好是的重心，求到平面的距离。

6．设向量，计算及与的夹角，并确定当满足什么关系时，使与轴垂直.