14.(2010福建模拟)如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与y轴交于点C. 抛物线经过A、C两点，且与x轴交于另一点B(点B在点A右侧).

(1)求抛物线的解析式及点B坐标；

(2)若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交轴于点F，交抛物线于点E.求ME长的最大值；

(3)试探究当ME取最大值时，在抛物线x轴下方是否存在点P，使以M、F、B、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由.

解：(1) 当y＝0时， 　　∴A(－1, 0)

当x＝0时， 　　　∴　 C(0,－3)　　　　

∴　　　　　　　 ∴

抛物线的解析式是：　　　　　 　　　　　　　　

　 当y＝0时， 解得： x₁＝－1　 x₂＝3 　∴ B(3, 0) 　

(2)由(1)知 B(3, 0) ， C(0,－3)　 直线BC的解析式是：　

　　 设M(x,x-3)(0≤x≤3),则E(x,x²-2x-3)

　　 ∴ME=(x-3)-( x²-2x-3)=- x²+3x =　　　　　

　　　 ∴当 时，ME的最大值＝ 　　　　　　　　　　

(3)答：不存在.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

由(2)知 ME 取最大值时ME＝ 　，E，M

　∴MF＝，BF=OB-OF=.　

设在抛物线x轴下方存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形，

则BP∥MF，BF∥PM. ∴P₁ 或 P₂ 　　　　　

当P₁ 时，由(1)知　　　　　　　　　　　　

∴P₁不在抛物线上.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

当P₂ 时，由(1)知　　　　　　　　　　　　

∴P₁不在抛物线上.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

综上所述：抛物线x轴下方不存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形.

13.(2010天水模拟)如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点(-1，2)和(1，0)，且与y轴相交于负半轴。

第(1)问：给出四个结论：①a>0；②b>0；③c>0；④a+b+c=0；.其中正确结论的序号(答对得3分，少选、错选均不得分)

第(2)问：给出四个结论：①abc<0②2a+b>0③a+c=1④a>1.其中正确结论的序号(答对得5分，少选、错选均不得分)

答案：a>0;　 b<0;　 C<0　 abc>0;

2a+b>0　 2a>-b　 1>

　 ①+②得　 2a+2c=2　 a+c=1　 a=1-c

12.(2010天水模拟)已知:抛物线y=-x2+4x-3与x轴相交于A、B，两点(A点在B点的左侧)，顶点为这。

(1)求A、B、P三点坐标；

(2)在下面的直角坐标系内画出此抛物线的简图，并根据简图写出当x取何值时，函数值y大于零；

(3)确定此抛物线与直线y=-2x+6公共点的个数，并说明理由。

解：(1)-x²+4x-3=0　　 x²-4x+3=0　　 (x-1)(x-3)=0　　 x₁=1,x₂=3

H===2　 k==

∴A(1,0) B(3,0)　　 P(2,1)

(2)略

(3)

将①代入②中　 -x²+4x-3=-2x+6

-x²+6x-9=0

△=36-4×(-1)×(-9)

=36-36=0

∴只有一个

11．(2010年铁岭市加速度辅导学校)已知：抛物线经过点．

(1)求的值；

(2)若，求这条抛物线的顶点坐标；

(3)若，过点作直线轴，交轴于点，交抛物线于另一点，且，求这条抛物线所对应的二次函数关系式．(提示：请画示意图思考)

解：(1)依题意得：，

．

(2)当时，，

抛物线的顶点坐标是．

(3)当时，抛物线对称轴，

对称轴在点的左侧．

因为抛物线是轴对称图形，且．

．

．

又，．

抛物线所对应的二次函数关系式．

解法2：(3)当时，，

对称轴在点的左侧．因为抛物线是轴对称图形，

，且

．

又，解得：

这条抛物线对应的二次函数关系式是．

解法3：(3)，，

分

轴，

即：．

解得：，即

由，．

这条抛物线对应的二次函数关系式

10．(2010年江苏省泰州市济川实验初中中考模拟题) 某企业信息部进行市场调研发现：

信息一：如果单独投资A种产品，所获利润y_A(万元)与投资金额x(万元)之间存在某种关系的部分对应值如下表：

信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润y_B(万元)与投资金额x(万元)之间存在二次函数关系：y_B＝ax²+bx，且投资2万元时获利润2.4万元，当投资4万元时，可获利润3.2万元．

(1)求出y_B与x的函数关系式．

(2)从所学过的一次函数、二次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示y_A与x之间的关系，并求出y_A与x的函数关系式．

(3)如果企业同时对A、B两种产品共投资15万元，请设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？

答案：(1)y_B=－0.2x²+1.6x,

　 (2)一次函数,y_A=0.4x,

　 (3)设投资B产品x万元，投资A产品(15－x)万元，投资两种产品共获利W万元， 则W=(－0.2x²+1.6x)+0.4(15－x)=－0.2x²+1.2x+6=－0.2(x－3)²+7.8,　

∴当x=3时,W_最大值=7.8,

答:该企业投资A产品12万元,投资B产品3万元,可获得最大利润5.8万元.

9．(2010年江苏省泰州市济川实验初中中考模拟题) 如图1，把一个边长为2的正方形ABCD放在平面直角坐标系中，点A在坐标原点，点C在y轴的正半轴上，经过B、C、D三点的抛物线c₁交x轴于点M、N(M在N的左边).

(1)求抛物线c₁的解析式及点M、N的坐标；

　 (2)如图2，另一个边长为2的正方形的中心G在点M上，、在x轴的负半轴上(在的左边)，点在第三象限，当点G沿着抛物线c₁从点M移到点N，正方形随之移动，移动中始终与x轴平行.

①直接写出点、移动路线形成的抛物线、的函数关系式；

②如图3，当正方形第一次移动到与正方形ABCD有一边在同一直线上时，

求点G的坐标．

答案：(1)y=－x²+4,　 M(,0),N(,0)　

(2)①y_A'=－x²+2 , y_B'=－(x－2)²+4　　 ②G(1－，－3+)　　

8．(2010年江苏省泰州市济川实验初中中考模拟题)已知抛物线的部分图象如图所示.

(1)求b、c的值；　　

(2)求y的最大值；

(3)写出当时，x的取值范围.

答案：(1)b=－2,c=3　　

(2) 4　　

(3) x＜－3或x＞1 　　　

7.(2010年吉林中考模拟题)如图，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在y轴正半轴上，点A、C的坐标分别为(0，1)、(2，4)．点P从点A出发，沿A→B→C以每秒1个单位的速度运动，到点C停止；点Q在x轴上，横坐标为点P的横、纵坐标之和．抛物线经过A、C两点．过点P作x轴的垂线，垂足为M，交抛物线于点R．设点P的运动时间为t(秒)，△PQR的面积为S(平方单位)．

　(1)求抛物线对应的函数关系式．

　(2)分别求t=1和t=4时，点Q的坐标．

　(3)当0＜≤5时，求S与t之间的函数关系式，并直接写出S的最大值．

[参考公式：抛物线的顶点坐标为，．]

答案：(1)由抛物线经过点A(0，1)，C(2，4)，

得解得

∴抛物线对应的函数关系式为：．

(2)当时，P点坐标为(1，1)，∴Q点坐标为(2，0)．　　　　　　　

　　 当时，P点坐标为(2，3)，∴Q点坐标为(5，0)．

(3)当≤2时，．

S．　　　　　　　　　　　　　　　　

　　 当≤5时，．

S．

　　 当时，S的最大值为2．

6.(2010年河南中考模拟题6)如图，在平面直角坐标系x0y中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点。抛物线与y轴交于点D，与直线y=x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切与点A和点C。

(1)求抛物线的解析式；

(2)抛物线的对称轴交x轴于点E，连接DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长；

(3)过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由。

答案：(1)，

　 (2)，

　 (3)点P在抛物线上，

　　　　 设y_DC=kx+b,将(0，1)，(1，0)，带入得k=-1,b=1，

∴直线CD为y=-x+1，

∵过点B作⊙O的切线BP与x轴平行，

∴P点的纵坐标为-1，

把y=-1带入y=-x+1得x=2，

∴P(2，-1)，

将x=2带入，得 y=-1，

∴点P在抛物线上。

5.(2010年河南中考模拟题5)二次函数的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点A(1，0)和点B(0，l)．

　 (1)试求，所满足的关系式；

　 (2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当△AMC的面积为△ABC面积

的倍时，求a的值；

　 (3)是否存在实数a，使得△ABC为直角三角形．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

答案：解：(1)将A(1，0)，B(0，l)代入得

　　 　，可得：

(2)由(1)可知： ，顶点M的纵坐标为，

　　　 因为，由同底可知：，

　整理得：，得：

由图象可知：，因为抛物线过点(0,1)，顶点M在第二象限，其对称轴x=,

∴,　　 ∴舍去,从而

(3)① 由图可知，A为直角顶点不可能；　　

② 若C为直角顶点，此时与原点O重合，不合题意；

③ 若设B为直角顶点，则可知，得：

令，可得：，

得：

．

　　 解得：，由－1＜a＜0，不合题意．所以不存在．

综上所述：不存在.