12．(2008年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x²+2x+b(x∈R)的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.

(1)求实数b的取值范围；

(2)求圆C的方程；

(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．

解：(1)显然b≠0.否则，二次函数f(x)＝x²+2x+b的图象与两个坐标轴只有两个交点(0,0)，(－2,0)，这与题设不符．由b≠0知，二次函数f(x)＝x²+2x+b的图象与y轴有一个非原点的交点(0，b)，故它与x轴必有两个交点，从而方程x²+2x+b＝0有两个不相等的实数根，因此方程的判别式4－4b>0，即b<1.

所以b的取值范围是(－∞，0)∪(0,1)．

(2)由方程x²+2x+b＝0，得x＝－1±.

于是，二次函数f(x)＝x²+2x+b的图象与坐标轴的交点是(－1－，0)，(－1+，0)，(0，b)．设圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F＝0.

因圆C过上述三点，将它们的坐标分别代入圆C的方程，得

解上述方程组，因b≠0，

得所以，圆C的方程为x²+y²+2x－(b+1)y+b＝0.

(3)圆C过定点．证明如下：

假设圆C过定点(x₀，y₀)(x₀，y₀不依赖于b)，将该点的坐标代入圆C的方程，并变形为x₀²+y₀²+2x₀－y₀+b(1－y₀)＝0.(*)为使(*)式对所有满足b<1(b≠0)的b都成立，必须有1－y₀＝0，结合(*)式得x₀²+y₀²+2x₀－y₀＝0.

解得或经检验知，点(0,1)，(－2,1)均在圆C上，

因此，圆C过定点．

11．在Rt△ABO中，∠BOA＝90°，OA＝8，OB＝6，点P为它的内切圆C上任一点，求点P到顶点A、B、O距离的平方和的最大值和最小值．

解：如图所示，以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，建立直角坐标系xOy，则A(8,0)，B(0,6)，内切圆C的半径r＝(OA+OB－AB)＝＝2.∴内切圆C的方程为(x－2)²+(y－2)²＝4.

设P(x，y)为圆C上任一点，点P到顶点A、B、O的距离的平方和为d，则

d＝PA²+PB²+PO²

＝(x－8)²+y²+x²+(y－6)²+x²+y²

＝3x²+3y²－16x－12y+100

＝3[(x－2)²+(y－2)²]－4x+76.

∵点P(x，y)在圆C上，∴(x－2)²+(y－2)²＝4.∴d＝3×4－4x+76＝88－4x.

∵点P(x，y)是圆C上的任意点，∴x∈[0,4]．

∴当x＝0时，d_max＝88；当x＝4时，d_min＝72.

10．如图，在平面直角坐标系xOy中，A(a,0)(a>0)，B(0，a)，C(－4,0)，D(0,4)，设△AOB的外接圆圆心为E.

(1)若⊙E与直线CD相切，求实数a的值；

(2)设点P在圆E上，使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个，试问这样的⊙E是否存在，若存在？求出⊙E的标准方程；若不存在，说明理由．

解：(1)直线CD方程为y＝x+4，圆心E(，)，半径r＝a.

由题意得＝a，解得a＝4.

(2)∵|CD|＝＝4，∴当△PCD面积为12时，点P到直线CD的距离为3.又圆心E到直线CD距离为2(定值)，要使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个，只须圆E半径＝5，解得a＝10，

此时，⊙E的标准方程为(x－5)²+(y－5)²＝50.

9．设实数x、y满足x²+(y－1)²＝1，若对满足条件的x、y，不等式+c≥0恒成立，则c的取值范围是________．

解析：由题意，知－c≤恒成立，又＝表示圆上的点与定点(3,0)连线的斜率，范围为[－，0]，所以－c≤－，即c的取值范围是c≥.

8．(2010年安徽合肥质检)曲线f(x)＝xlnx在点P(1,0)处的切线l与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是____________．

解析：曲线f(x)＝xlnx在点P(1,0)处的切线l方程为x－y－1＝0，与坐标轴围成的三角形的外接圆圆心为(，－)，半径为，所以方程为(x－)²+(y+)²＝.答案：(x－)²+(y+)²＝

7．已知动点P(x，y)满足x²+y²－|x|－|y|＝0，O为坐标原点，则PO的取值范围是______．

解析：方程x²+y²－|x|－|y|＝0可化为(|x|－)²+(|y|－)²＝.

所以动点P(x，y)的轨迹如图：为原点和四段圆孤，故PO的取值范围是{0}∪[1， ]．

6．过圆x²+y²＝4外一点P(4,2)作圆的两条切线，切点为A、B，则△ABP的外接圆的方程是____________________．

解析：∵圆心为O(0,0)，又∵△ABP的外接圆就是四边形OAPB的外接圆．其直径d＝OP＝2，∴半径r＝.

而圆心C为(2,1)，∴外接圆的方程为(x－2)²+(y－1)²＝5.

5．已知圆的方程为x²+y²－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为___________．

解析：由题意知，圆心坐标为(3,4)，半径r＝5，故过点(3,5)的最长弦为AC＝2r＝10，最短弦BD＝2＝4，四边形ABCD的面积为20.

4．已知点P(1,4)在圆C：x²+y²+2ax－4y+b＝0上，点P关于直线x+y－3＝0的对称点也在圆C上，则a＝________，b＝________.

解析：点P(1,4)在圆C：x²+y²+2ax－4y+b＝0上，所以2a+b+1＝0，点P关于直线x+y－3＝0的对称点也在圆C上，所以圆心　 (－a,2)在直线x+y－3＝0上，即－a+2－3＝0，解得a＝－1，b＝1.

3．(2009年高考上海卷改编)点P(4，－2)与圆x²+y²＝4上任一点连线的中点轨迹方程是________________．

解析：设圆上任一点坐标为(x₀，y₀)，则x₀²+y₀²＝4，连线中点坐标为(x，y)，

则⇒代入x₀²+y₀²＝4中得(x－2)²+(y+1)²＝1.