7.(重庆卷理15)已知函数满足:,,则=_____________.
[答案]
解析:取x=1 y=0得
法一:通过计算,寻得周期为6
法二:取x=n y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n)
联立得f(n+2)= -f(n-1) 所以T=6 故=f(0)= .
6.(天津卷文16)设函数f(x)=x-,对任意x恒成立,则实数m的取值范围是________
[答案]
[解析]因为对任意x,恒成立,所以
当时,有对任意x恒成立,即,解得,即;当时,有对任意x恒成立,x无解,综上所述实数m的取值范围是。
[命题意图]本题考查函数中的恒成立问题,考查函数与方程思想、转化与化归思想。
5.(天津卷理16)设函数,对任意,恒成立,则实数的取值范围是 .
[[答案]
[解析]由题意知:在上恒成立,
在上恒成立,当时,函数取得最小值,所以,即解得或。
[命题意图]本题考查函数中的恒成立问题,考查化归与转化的数学思想。
4.(全国Ⅰ卷理15)直线与曲线有四个交点,则的取值范围是
[答案](1,
[命题意图]本小题主要考查函数的图像与性质、不等式的解法,着重考查了数形结合的数学思想.
[解析]如图,在同一直角坐标系内画出直线与曲线
,观图可知,a的取值必须满足
解得.
3.(江苏卷14)将边长为1的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记S=,则S的最小值是_______▲_______
[答案]
[解析] 考查函数中的建模应用,等价转化思想。一题多解。
设剪成的小正三角形的边长为,则:
(方法一)利用函数的方法求最小值。
令,则:
故当时,S的最小值是。
(方法二)利用导数求函数最小值。
,
,
当时,递减;当时,递增;
故当时,S的最小值是。
2. (北京卷文14)如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。设顶点p(x,y)的纵坐标与横坐标的函数关系是,则的最小正周期为 ;在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为 。说明:“正方形PABC沿x轴滚动”包含沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动。沿x轴正方向滚动是指以顶点A为中心顺时针旋转,当顶点B落在x轴上时,再以顶点B为中心顺时针旋转,如此继续,类似地,正方形PABC可以沿着x轴负方向滚动。
1.(北京卷理14)如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。设顶点p(x,y)的轨迹方程是,则的最小正周期为 ;在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为 。
说明:“正方形PABC沿轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动。沿轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转,当顶点B落在轴上时,再以顶点B为中心顺时针旋转,如此继续。类似地,正方形PABC可以沿轴负方向滚动。
[答案]4,
解析:不难想象,从某一个顶点(比如A)落在x轴上的时候开始计算,到下一次A点落在x轴上,这个过程中四个顶点依次落在了x轴上,而每两个顶点间距离为正方形的边长1,因此该函数的周期为4。下面考察P点的运动轨迹,不妨考察正方形向右滚动,P点从x轴上开始运动的时候,首先是围绕A点运动个圆,该圆半径为1,然后以B点为中心,滚动到C点落地,其间是以BP为半径,旋转90°,然后以C为圆心,再旋转90°,这时候以CP为半径,因此最终构成图象如下:
8.(浙江卷文9)已知x是函数f(x)=2 x+ 的一个零点,若∈(1,),∈(,+),则
(A)f()<0,f()<0 (B)f()<0,f()>0
(C)f()>0,f()<0 (D)f()>0,f()>0
解析:选B,考察了数形结合的思想,以及函数零点的概念和零点的判断,属中档题
7.(天津卷文4)函数f(x)=
(A)(-2,-1) (B) (-1,0) (C) (0,1) (D) (1,2)
[答案]C
[解析]因为,,所以选C。
[命题意图]本小题考查函数根的存在性定理,属基础题。
6.(天津卷理2)函数f(x)=的零点所在的一个区间是
(A)(-2,-1) (B)(-1,0) (C)(0,1) (D)(1,2)
[答案]B
[解析]因为,,所以选B。
[命题意图]本小题考查函数根的存在性定理,属基础题。
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