2．双向约束问题

物体(如小球)在轻杆作用下的运动，或在管道中运动时，随着速度的变化，杆或管道对其弹力发生变化．这里的弹力可以是支持力，也可以是压力，即物体所受的弹力可以是双向的，与轻绳的模型不同．因为绳子只能提供拉力，不能提供支持力；而杆、管道既可以提供拉力，又可以提供支持力；在管道中运动，物体速度较大时可对上壁产生压力，而速度较小时可对下壁产生压力．在强力为零时即出现临界状态．

(一)轻杆模型

如图所示，轻杆一端连一小球，在竖直面内作圆周运动．

(1)能过最高点的临界条件是：．这可理解为恰好转过或恰好不能转过最高点的临界条件，此时支持力．

(2)当时，，N仍为支持力，且N随v的增大而减小，

(3)当时，N＝0，此为轻杆不受弹力的临界条件．

(4)当时，N随的增大而增大，且N为拉力指向圆心，

[例4] 如图所示，被长L的轻杆连接的小球A能绕固定点O在竖直平面内作圆周运动，O点竖直高度为h，如杆受到的拉力等于小球所受重力的5倍时，就会断裂，则当小球运动的角速度为多大时，杆恰好断裂?小球飞出后，落地点与O点的水平距离是多少?

㈡管道模型

质点(小球)在光滑、竖直面内的圆管中作圆周运动(圆管截面半径r远小于球的圆周运动的半径R)，如图所示．小球达到最高点时对管壁的压力有三种情况：

(1)刚好对管壁无压力，此时重力为向心力，临界速度为．

(2)当时，对下管壁有压力，此时，故。

(3)当时，对上管壁有压力，此时。

实际上，轻杆和管道两种约束情况可化归为同类的物理模型，即双向约束模型．

[例5] 一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R(比细管的半径大得多)．在细管中有两个直径与细管内径相同的小球(可视为质点)，A球的质量为m₁，B球的质量为m₂，它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为V₀。设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m_l，m₂，R与V₀所满足的关系式是　　　　　　　　 ·

[例6] 一根内壁光滑的细圆管放在竖直面内，如图所示，一小钢球自A口的正上方距A口高h处无初速释放，第1次小球恰能抵达B点，第2次落入A口后从B射出，恰能再进入A口，则两次小球下落的高度之比。

1．临界速度问题

在变速圆周运动中的某些特殊位置上，常存在着最小(或最大)的速度，小于(或大于)这个速度，物体就不能再继续作圆周运动了，此速度即为临界速度．在这个位置，物体的受力必满足特定的条件，这就是临界条件．当物体的受力发生变化时，其运动状态随之变化．当某力突然变为零时，对应物体出现相应的临界状态．常见的如绳子突然断裂、支持物的作用力突然变化、静摩擦力充当向心力时突然消失或达最大值等．通过受力分析来确定临界状态和临界条件，是较常用的解题方法．

(1)没有支持物的质点(如绳系小球)，在竖直面内的圆周运动的最高点：

　　 (1)受力至少应是重力mg，此即为向心力的最小值．由，得临界速度，此速度是质点恰好能通过最高点的条件．

　　 (2)当时，质点可通过最高点；当时，质点不能运动到最高点，在达到最高点之前就已经脱离了圆轨道．

(3)在水平转台上作圆周运动的物体，静摩擦力f提供向心力．当转台的转速逐渐增大时，静摩擦力随之增大，f达到最大值时，对应有临界角速度和临界速度．

[例1] 　组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率．如果超过了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动．由此能得到半径为R、密度为ρ、质量为M且均匀分布的星球的最小自转周期T，下列表达式中正确的是(　　 )

A. 　　　　　　　 B.

C. 　　　　　　　　　　 D.

[例2] 如图所示，LMPQ是光滑轨道，LM水平，长为5.0m，MPQ是一半径为R=1.6m的半圆，QOM在同一竖直线上，在恒力F作用下质量m=1kg的物体A由静止开始运动，当达到M时立即停止用力，欲使A刚能通过Q点，则力F大小是多大？

[例3] 如图所示，竖直放置的光滑圆环，半径为R，要使质量为m小球沿环内侧做完整的圆周运动(如过山车)，那么，小球在最低点的速度V₀至少为多大?

①若在原题的基础上，使小球带正电荷g，在空间加一匀强电场，若所加电场方向竖直向下，如图所示，则小球在最高点不脱离圆轨道的最小速度应满足什么条件？

②如图所示，若所加电场方向水平向右，则小球在什么地方具有最小速度才能在圆轨道上做完整的圆周运动，其最小速度是多少？

3．解答圆周运动问题时的注意事项

(1)圆周运动的轨道平面、圆心位置和半径；

(2)确定是匀速圆周运动还是变速圆周运动，以确定运用相应的物理规律；

(3)正确进行受力分析，并进行相应的分解(一般是沿法向和切向进行正交分解)，再根据牛顿第二定律沿半径方向列出动力学方程；

(4)注意圆周运动问题中的临界状态及临界条件的确定，结合能量的观点来求解．　　

2．变速圆周运动的动力学特征

(1)受合外力作用，但合力并不总是指向圆心，且合力的大小也是可以变化的，故合力可对物体做功，物体的速率也在变化．

(2)合外力的分力(在某些位置上也可以是合外力)提供向心力．

1.匀速圆周运动的动力学特征

(1)始终受合外力作用，且合外力提供向心力，其大小不变，始终指向圆心，因合力始终与速度垂直，所以合力不做功．

(2)匀速圆周运动的动力学方程

　　 根据题意，可以选择相关的运动学量如v，ω，T，f列出动力学方程；，，　 ，　 _.

熟练掌握这些方程，会给解题带来方便．

20. 用“我们”作开头，重组下面这个句子，不能改变原意。(6分)

书籍将人类自身无法逾越的障碍和局限揭示给我们，而且毫不保留地将人的痛苦、幸福、愉悦、悲伤、烦恼、绝望、矛盾等种种复杂的心理启示给我们。

我们____________________________________________________。

19. 下面这则请假条中存在语言不得体、不简明的问题，请把不得体的词语和不简明之处找出来，分别写在相应的横线上。(6分)

黄老师：

下周一，广东体院将在我市举行面试，作为具有着良好身体素质、体育成绩卓著的学生，届时我将出席这次考试。为此，我特意向您专门请假一天，请您务必批准。

此致

敬礼！

　　　　　　　　　 学生　 李翔

2010年6月20日

(1)不得体的词语(4个)：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(2)不简明之处(2处)：