181、沐猴而冠：比喻装扮得像个人物，但本质不好。(贬义词)

7． (本小题满分14分)

设双曲线=1( a > 0, b > 0 )的右顶点为A，P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点.

(1) 证明：无论P点在什么位置，总有||² = |·| ( O为坐标原点)；

(2) 若以OP为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围；

解：(1) 设OP：y = k x,　　 又条件可设AR: y = (x – a ),

　 解得：= (,),　 　同理可得= (,),　　　

∴|·| =|+| =.　　　　　 4分

　 设 = ( m, n ) , 则由双曲线方程与OP方程联立解得:

m² =, n² = ,　　

∴ ||² = :m² + n² = + = ,

∵点P在双曲线上，∴b² – a²k² > 0 .

　 ∴无论P点在什么位置，总有||² = |·| .　　　　　　　　　　 4分

(2)由条件得：= 4ab, 　　　　　　　　　　　　　　　　2分

即k² = > 0 , ∴ 4b > a, 得e > 　　　　　　　　　　　2分

6．(14分)已知数列中，，当时，其前项和满足，

(2)　　　 求的表达式及的值；

(3)　　　 求数列的通项公式；

(4)　　　 设，求证：当且时，.

解：(1)

所以是等差数列.则.

.

(2)当时，，

综上，.

(3)令，当时，有　　　　 (1)

法1：等价于求证.

当时，令

，

则在递增.

又，

所以即.

法(2)

　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　(2)

　 　　(3)

因，所以

由(1)(3)(4)知.

法3：令，则

所以

因则，

所以　　　　　　　　　　　　　　　　 (5)

由(1)(2)(5)知

5．(12分)、是椭圆的左、右焦点，是椭圆的右准线，点，过点的直线交椭圆于、两点.

(1)　　　 当时，求的面积；

(2)　　　 当时，求的大小；

(3)　　　 求的最大值.

解：(1)

(2)因，

则

(1)　　　 设

，

当时，

4.(本小题满分14分)已知函数.

(1) 试证函数的图象关于点对称;

(2) 若数列的通项公式为, 求数列的前m项和

(3) 设数列满足: , . 设.

若(2)中的满足对任意不小于2的正整数n, 恒成立, 试求m的最大值.

解: (1)设点是函数的图象上任意一点, 其关于点的对称点为.

由 得

所以, 点P的坐标为P.………………(2分)

由点在函数的图象上, 得.

∵

　∴点P在函数的图象上.

∴函数的图象关于点对称. ………………(4分)

(2)由(1)可知, , 所以,

即………………(6分)

由,　　 ……………… ①

得 ………………②

由①+②, 得

∴………………(8分)

(3) ∵, ………………③

∴对任意的. ………………④

由③、④, 得即.

∴.……………(10分)

∵∴数列是单调递增数列.

∴关于n递增. 当, 且时, .

∵

∴………………(12分)

∴即∴ ∴m的最大值为6. ……………(14分)

3.(本小题满分12分)将圆O: 上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变),

得到曲线C.

(1) 求C的方程;

(2) 设O为坐标原点, 过点的直线l与C交于A、B两点, N为线段AB的中点,

延长线段ON交C于点E.

求证: 的充要条件是.

解: (1)设点, 点M的坐标为,由题意可知………………(2分)

又∴.

所以, 点M的轨迹C的方程为.………………(4分)

(2)设点, , 点N的坐标为,

㈠当直线l与x轴重合时，线段AB的中点N就是原点O，不合题意，舍去；……(5分)

㈡设直线l:

由消去x,

得………………①

∴………………(6分)

∴,

∴点N的坐标为.………………(8分)

①若, 坐标为, 则点E的为, 由点E在曲线C上,

得, 即 ∴舍去).

由方程①得

又

∴.………………(10分)

②若, 由①得∴

∴点N的坐标为, 射线ON方程为: ,

由　 解得 ∴点E的坐标为

∴.

综上, 的充要条件是.………………(12分)

2．(14分)已知正项数列中，，点在抛物线上；数列中，点在过点，以方向向量为的直线上.

(Ⅰ)求数列的通项公式；

(Ⅱ)若，问是否存在，使成立，若存在，求出值；若不存在，说明理由；

(Ⅲ)对任意正整数，不等式成立，求正数的取值范围.

解：(Ⅰ)将点代入中得

…………………………………………(4分)

(Ⅱ)………………………………(5分)

……………………(8分)

(Ⅲ)由

………………………………(14分)

1．(12分)已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点，它们在轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.

(Ⅰ)求这三条曲线的方程；

(Ⅱ)已知动直线过点，交抛物线于两点，是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由.

解：(Ⅰ)设抛物线方程为，将代入方程得

………………………………………………(1分)

由题意知椭圆、双曲线的焦点为…………………(2分)

对于椭圆，

………………………………(4分)

对于双曲线，

………………………………(6分)

(Ⅱ)设的中点为，的方程为：，以为直径的圆交于两点，中点为

令………………………………………………(7分)

…………(12分)

20.(16分)钚的放射性同位素静止时衰变为铀核激发态和粒子，而铀核激发态立即衰变为铀核，并放出能量为的光子。已知：、和粒子的质量分别为、和

(1)写出衰变方程；

(2)已知衰变放出的光子的动量可忽略，求粒子的动能。

焦作市2009-2010学年(下)选修模块(3－5)水平测试

19.(4分)质量相等的A、B两球在光滑水平面上沿同一直线、向同一方向运动, A球的动量为7 kg·m/s, B球的动量为 5 kg·m/s, 当A球追上B球发生碰撞后, A、B两球的动量可能为　　 (　　　　 )

A. p_A=6 kg·m/s 　　p_B=6 kg·m/s　　　 B. p_A=3 kg·m/s　 　p_B=9 kg·m/s　

C. p_A=－2 kg·m/s　 p_B=14 kg·m/s　　　 D. p_A=－4 kg·m/s　 p_B=16 kg·m/s