6．(本小题满分12分)

垂直于x轴的直线交双曲线于M、N不同两点，A₁、A₂分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线A₁M与A₂N交于点P(x₀，y₀)

(Ⅰ)证明：

(Ⅱ)过P作斜率为的直线l，原点到直线l的距离为d，求d的最小值.

解(Ⅰ)证明：

　　①

直线A₂N的方程为　　 ②……4分

①×②，得

(Ⅱ)

……10分

当……12分

5．(本小题满分14分)

(理)给定正整数和正数，对于满足条件的所有无穷等差数列，试求的最大值，并求出取最大值时的首项和公差．

(文)给定正整数和正数，对于满足条件的所有无穷等差数列，试求的最大值，并求出取最大值时的首项和公差．

(理)解：设公差为，则．　3分

　　　　　　　　　　4分

．　　　　　　　　　　　7分

又．

∴，当且仅当时，等号成立．　　　　　　　　　　　11分

∴．　　　　　　13分

当数列首项，公差时，，

∴的最大值为．　　　　　　　　14分

(文)解：设公差为，则．　　3分

，　　　　　　6分

又．

∴．

当且仅当时，等号成立．　　　　　　　　　11分

∴．　　　　　　　13分

当数列首项，公差时，．

∴的最大值为．　　　　　　　　　14分

4．(本小题满分12分)

设椭圆的左焦点为，上顶点为，过点与垂直的直线分别交椭圆和轴正半轴于，两点，且分向量所成的比为8∶5．

(1)求椭圆的离心率；

(2)若过三点的圆恰好与直线：相切，求椭圆方程．

解：(1)设点其中．

由分所成的比为8∶5，得，　　　　　　2分

∴．①，　　　　　　　4分

而，

∴．．②，　　　　　　5分

由①②知．

∴．　　　　　　　　　　6分

(2)满足条件的圆心为，

，　　　　　　　8分

圆半径．　　　　　　　　　10分

由圆与直线：相切得，，

又．∴椭圆方程为．　　　　12分

3. (本小题满分13分)

　　 已知数列的前n项和为，且对任意自然数都成立，其中m为常数，且.

　　 (I)求证数列是等比数列；

　　 (II)设数列的公比，数列满足：

，试问当m为何值时，

成立？

解：(I)由已知

　　 　　(2)

　　 由得：，即对任意都成立

　　 (II)当时，

　　 由题意知，　　　　　　　　　　　　 13分

2．(本小题满分13分)

已知函数，

数列满足

　　 (I)求数列的通项公式；

　　 (II)设x轴、直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为，求；

　　 (III)在集合，且中，是否存在正整数N，使得不等式对一切恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由.

　　 (IV)请构造一个与有关的数列，使得存在，并求出这个极限值.

解：(I)

　　 　　　　　　　　　　　 ……1分

　　 ……

　　 将这n个式子相加，得

　　 　　　　　　　　　　　 ……3分

　　 (II)为一直角梯形(时为直角三角形)的面积，该梯形的两底边的长分别为，高为1

　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 ……6分

　　 (III)设满足条件的正整数N存在，则

　　 又

　　 均满足条件

　　 它们构成首项为2010，公差为2的等差数列.

　　 设共有m个满足条件的正整数N，则，解得

　　 中满足条件的正整数N存在，共有495个，　　　　 ……9分

　　 (IV)设，即

　　 则

　　 显然，其极限存在，并且　　　 ……10分

　　 注：(c为非零常数)，等都能使存在.

1．(本小题满分13分)

如图，已知双曲线C：的右准线与一条渐近线交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点.

　　 (I)求证：；

　　 (II)若且双曲线C的离心率，求双曲线C的方程；

　　 (III)在(II)的条件下，直线过点A(0，1)与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间，满足，试判断的范围，并用代数方法给出证明.

解：(I)右准线，渐近线

　　 ，

　　 　　　　　　　　 ……3分

　　 (II)

双曲线C的方程为：　　　　　　　 ……7分

　　 (III)由题意可得　　　　　　　　　　　　　　 ……8分

　　 证明：设，点

　　 由得

　　 与双曲线C右支交于不同的两点P、Q

　　 　　　　　　　　　　　　　　 ……11分

　　 ，得

的取值范围是(0，1)　　　　　　　　　　　　　　 ……13分

17．阅渎下面两则材料，回答问题。(10分)

材料一：今年，在深圳的不少茶馆或者素食馆，每天都有一群传统国学爱好者自发地聚集在一起，听专家讲解《弟子规》《增广贤丈》等国学经典。深圳还有一部分企业家，出钱出力组织员工一起学国学，把国学修养作为考核员工的重要标准。

材料二：早在1998年，广州市五一小学就试行“读经”；湖北武汉大学早在4年前就创办了国学试验班。发展至今，中国大陆有l00多个城市的800万孩子加入“读经”行列。

　 (1)用一句话概括以上材料的内容。(2分)

　 (2)你对上述现象有何看法?请简要阐述理由。(150字左右)(8分)

16．请根据下面曲线图回答问题。

　 [注]深色曲线表示团队的工作效率，浅色曲线表示激励力度。

　 (1)团队的工作效率与激励力度之间的关系是：在工作前期，团队的工作效率呈上升趋势，激励力度逐渐加大；当丁作进行到中期时，　　　　　　　 ；当工作进行到后期时，团队的工作效率再次呈上升趋势，激励力度逐步降低。

　 (2)上图所反映的工作效率与激励力度变化的规律，给领导者的启示是：