9．(本小题满分14分)(2005年春考·北京卷·理18)

如图，O为坐标原点，直线在轴和轴上的截距分别是和，且交抛物线于、两点．

(1)写出直线的截距式方程；

(2)证明：；

(3)当时，求的大小．

(Ⅰ)解：直线l的截距式方程为　　 　　①

(Ⅱ)证明：由①及y²=2px消去x可得

　 ②

点M，N的纵坐标y₁, y₂为②的两个根，故

(Ⅲ)解：设OM，ON的斜率分别为k₁,k₂,

8．(本小题满分14分)(2005年高考·广东卷17)

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO(如图4所示)．

　 (Ⅰ)求△AOB的重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程；

　 (Ⅱ)△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

解：(I)设△AOB的重心为G(x,y),A(x₁,y₁),B(x₂,y₂), 则　　 …(1)

∵OA⊥OB，即，　　　　　　　　……(2)

又点A，B在抛物线上，有，代入(2)化简得

∴，

所以重心为G的轨迹方程为．

(II)

由(I)得

当且仅当即时，．

所以△AOB的面积存在最小值，且最小值为1．

7．(2005春北京文)

如图，O为坐标原点，过点P(2，0)且斜率为k的直线l交抛物线y²=2x于M(x₁,y₁),N(x₂, y₂)两点．

(1)求x₁x₂与y₁y₂的值；

(2)求证：OM⊥ON．

(Ⅰ)解：直线l的方程为

　　 　　①

代入y²=2x消去y可得

　 ②

点M，N的横坐标x₁与 x₂是②的两个根，

由韦达定理得

(Ⅱ)证明：设OM，ON的斜率分别为k₁, k₂,

6．由抛物线方程y²=10x可知②⑤满足条件．答案：②⑤

[解答题]

5．可证弦AB通过焦点F时,所求距离最短，答案

4．向量解法： 由A、F、B共线得(重要结论),进而得出

3． 设圆心A(0,t),抛物线上的点为P(x,y), 列出转化为二次函数问题。

6．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：

①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2，1)．

能使这抛物线方程为y²=10x的条件是____________．(要求填写合适条件的序号)

简答提示：1－4：DCCC；2． 把转化为M到准线的距离,然后求的最小值

5．抛物线 的动弦AB长为,则AB中点M到轴的最短距离是 ________

4． 设抛物线的轴和它的准线交于E点,经过焦点F的直线交抛物线于P、Q两点(直线PQ与抛物线的轴不垂直),则与的大小关系为 (　　 )

A　　　 B

C 　　　D 不确定

[填空题]