3、运算律

加法：+=+，(+)+=+(+)

实数与向量的乘积：λ(+)=λ+λ；(λ+μ)=λ+μ，λ(μ)=(λμ)

两个向量的数量积：·=·；(λ)·=·(λ)=λ(·)，(+)·=·+·

说明：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，例如(±)²=

2、向量的三种线性运算及运算的三种形式。

向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。

主要内容列表如下：

运　 算	图形语言	符号语言	坐标语言
加法与减法		+= -=	记=(x1,y1)，=(x1,y2) 则+=(x1+x2,y1+y2) 　 -=(x2-x1,y2-y1)
	+=
实数与向量 的乘积		=λ λ∈R	记=(x,y) 则λ=(λx,λy)
两个向量 的数量积		·=|||| cos<,>	记=(x1,y1), =(x2,y2) 则·=x1x2+y1y2

1、向量是数形结合的典范。向量的几何表示法——有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中，借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释，有时甚至更简捷。

向量运算中的基本图形：①向量加减法则：三角形或平行四边形；②实数与向量乘积的几何意义——共线；③定比分点基本图形——起点相同的三个向量终点共线等。

3、向量运算的运用

2、向量的线性运算：即向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积等的定义，运算律；

1、向量的概念；

《平面向量》复习

4.(2008年上海理200(3’+5’+8’)

设P(a,b)(b≠0)是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原点与点(1,b)的直线，记Q是

直线l与抛物线x²＝2py(p≠0)的异于原点的交点

⑴ 若a＝1，b＝2，p＝2，求点Q的坐标

⑵ 若点P(a,b)(ab≠0)在椭圆+y²＝1上，p＝，求证：点Q落在双曲线4x²－4y²＝1上

⑶ 若动点P(a,b)满足ab≠0，p＝，若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上，试问动点P的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由

[解析](1)当时，

解方程组　　 得　 即点的坐标为　　 ……3分

(2)[证明]由方程组　　 得　 即点的坐标为 …5分

时椭圆上的点，即　 　，

因此点落在双曲线上　　　　　　　　 　　　　……8分

(3)设所在的抛物线方程为　　　　　　　　 ……10分

将代入方程，得，即　 ……12分

当时，，此时点的轨迹落在抛物线上；

当时，　 ，此时点的轨迹落在圆上；

当时，，此时点的轨迹落在椭圆上；

当时，此时点的轨迹落在双曲线上； ……16分

3.(2008年山东理22)(本小题满分14分)

如图，设抛物线方程为，为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为．

(Ⅰ)求证：三点的横坐标成等差数列；

(Ⅱ)已知当点的坐标为时，．求此时抛物线的方程；

(Ⅲ)是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中，点满足(为坐标原点)．若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(Ⅰ)证明：由题意设．

由得，得，

所以，．

因此直线的方程为，直线的方程为．

所以，①．②

由①、②得，因此，即．

所以三点的横坐标成等差数列．

(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，当时，将其代入①、②并整理得：

，，所以是方程的两根，

因此，，又，所以．

由弦长公式得．

又，所以或，因此所求抛物线方程为或．

(Ⅲ)解：设，由题意得，

则的中点坐标为，设直线的方程为，

由点在直线上，并注意到点也在直线上，代入得．

若在抛物线上，则，因此或．

即或．

(1)当时，则，此时，点适合题意．

(2)当，对于，此时，，

又，，所以，

即，矛盾．

对于，因为，此时直线平行于轴， 又，

所以直线与直线不垂直，与题设矛盾，所以时，不存在符合题意的点．

综上所述，仅存在一点适合题意．