5.(2010·济南实验中学模拟)(1)现要验证“当质量一定时,物体运
动的加速度与它所受的合外力成正比”这一物理规律.给定的
器材如下:一倾角可以调节的长斜面(如图实-4-10所示)、
小车、计时器一个、米尺. 图实-4-10
(1)填入适当的公式或文字,完善以下实验步骤(不考虑摩擦力的影响):
①让小车自斜面上方一固定点A1从静止开始下滑至斜面底端A2,记下所用的时间t.
②用米尺测量A1与A2之间的距离x,则小车的加速度a=________.
③用米尺测量A1相对于A2的高度h.设小车所受重力为mg,则小车所受合外力F=
_______.
④改变________________________,重复上述测量.
⑤以h为横坐标,1/t2为纵坐标,根据实验数据作图.如能得到一条过原点的直线,则可以验证“当质量一定时,物体运动的加速度与它所受的合外力成正比”这一规律.
(2)在“验证牛顿运动定律”的实验中,实验装置如图实-4-11甲所示,有一位同学通过实验测量作出了图乙中的A图线.试分析:
图实-4-11
①A图线不通过坐标原点的原因是__________________________________________;
②A图线上部弯曲的原因是________________________________________________.
解析:(1)②由x=at2可得:a=.
③sinθ=,不计摩擦力时,小车的合外力F=mgsinθ=mg.
④小车的质量不变,要改变小车所受的合外力F重做上述实验时,只要改变斜面的倾角(或A1、A2两点间的高度h的数值)即可.
(2)①图线在F轴上有截距,说明没有平衡摩擦力或平衡摩擦力不够.
②a-F图线上部弯曲的原因是未满足钩码质量远小于小车质量.
答案:(1)② ③mg ④斜面倾角(或h的数值)
(2)①没有平衡摩擦力或平衡摩擦力不够
②未满足钩码质量远小于小车质量
4.(2010·广州联考)某同学在做加速度和力、质量的关系的实验中,测得小车的加速度a和拉力F的数据如下表所示:
F/N |
0.20 |
0.30 |
0.40 |
0.50 |
0.60 |
a/(m·s-2) |
0.11 |
0.19 |
0.29 |
0.40 |
0.51 |
(1)根据表中的数据在图实-4-9所示的坐标中作出a-F图象;
图实-4-9
(2)图象的斜率的物理意义是_______________________________________________;
(3)图象(或延长线)与F轴的截距的物理意义是________________________;
(4)小车和砝码的总质量为________ kg.
解析:(1)选取适当的标度,作出a-F图象如图所示.
(2)由F=Ma得a=,可见图象的斜率为小车和砝码的总质量的倒数.
(3)图象与F轴的截距表示加速度恰好为零时的拉力,也即是小车受到的阻力,大小为0.1 N.
(4)由图可知图线斜率k=1(kg-1),由k=可得:M=1 kg.
答案:(1)见解析图 (2)小车和砝码的总质量的倒数
(3)小车受到的阻力为0.1 N (4)1
3.(2010·阳江模拟)为了探究加速度与力的关系,使用如图实-4-8所示的气垫导轨装置进行实验.其中G1、G2为两个光电门,它们与数字计时器相连,当滑行器通过G1、G2光电门时,光束被遮挡的时间Δt1、Δt2都可以被测量并记录,滑行器连同上面固定的一条形挡光片的总质量为M,挡光片宽度为D,光电门间距离为x,牵引砝码的质量为m.回答下列问题:
图实-4-8
(1)实验开始应先调节气垫导轨下面的螺钉,使气垫导轨水平,在不增加其他仪器的情况下,如何判定调节是否到位?
答:____________________________________________________________________.
(2)若取M=0.4 kg,改变m的值,进行多次实验,以下m的取值不合适的一个是
__________.
A.m1=5 g B.m2=15 g
C.m3=40 g D.m4=400 g
(3)在此实验中,需要测得每一个牵引力对应的加速度,求得的加速度的表达式为
____________________________________________________________________.
(用Δt1、Δt2、D、x表示)
解析:(1)如果气垫导轨水平,则不挂砝码时,M应能在任意位置静止不动,或推动M后能使M匀速运动.
(2)应满足M≫m,故m4=400 g不合适.
(3)由v1=,v2=,v22-v12=2ax
可得:a=.
答案:(1)取下牵引砝码,M放在任意位置都不动;或取下牵引砝码,轻推滑行器M,数字计时器记录每一个光电门的光束被挡的时间Δt都相等
(2)D
(3)a=
2.(2010·台州模拟)如图实-4-7所示,在探究牛顿运动定律的演示实验中,若1、2两个相同的小车所受拉力分别为F1、F2,车中所放砝码的质量分别为m1、m2,打开夹子后经过相同的时间两车的位移分别为x1、x2,则在实验误差允许的范围内,有( )
图实-4-7
A.当m1=m2、F1=2F2时,x1=2x2
B.当m1=m2、F1=2F2时,x2=2x1
C.当m1=2m2、F1=F2时,x1=2x2
D.当m1=2m2、F1=F2时,x2=2x1
解析:当m1=m2、F1=2F2时,由F=ma可知,a1=2a2,再由x=at2可得:x1=2x2,故A正确,B错误;当m1=2m2、F1=F2时,a1=a2,再由x=at2可得:x1=x2,故C错误,D正确.
答案:AD
1.关于“验证牛顿运动定律”的实验,下列说法中符合实际的是 ( )
A.通过同时改变小车的质量m及受到的拉力F的研究,能归纳出加速度、力、质量三者之间的关系
B.通过保持小车质量不变,只改变小车的拉力的研究,就可以归纳出加速度、力、质量三者之间的关系
C.通过保持小车受力不变,只改变小车质量的研究,就可以得出加速度、力、质量三者之间的关系
D.先不改变小车质量,研究加速度与力的关系;再不改变受力,研究加速度与质量的关系,最后归纳出加速度、力、质量三者之间的关系
解析:验证牛顿运动定律的实验,是利用控制变量法,探究加速度a与合外力F、物体质量m的关系,故D项正确.
答案:D
(三) 解答题
13、设=(3,1),
=(-1,2),
⊥
,
∥
,试求满足
+
=
的
的坐标,其中O为坐标原点。
14、若+
=(2,-8),
-
=(-8,16),求
、
及
与
夹角θ的余弦值。
15、已知||=
,|
|=3,
和
夹角为450,求当向量
+λ
与λ
+
夹角为锐角时,λ的取值范围。
(二) 填空题
9、已知{,
|是平面上一个基底,若
=
+λ
,
=-2λ
-
,若
,
共线,则λ=__________。
10、已知||=
,|
|=1,
·
=-9,则
与
的夹角是________。
11、设,
是两个单位向量,它们夹角为600,
则(2-
)·(-3
+2
)=____________。
12、把函数y=cosx图象沿平移,得到函数___________的图象。
(一) 选择题
1、平面内三点A(0,-3),B(3,3),C(x,-1),若∥
,则x的值为:
A、 -5 B、-1 C、1 D、5
2、平面上A(-2,1),B(1,4),D(4,-3),C点满足,连DC并延长至E,使|
|=
|
|,则点E坐标为:
A、(-8,) B、(
) C、(0,1) D、(0,1)或(2,
)
2、点(2,-1)沿向量平移到(-2,1),则点(-2,1)沿
平移到:
3、A、(2,-1) B、(-2,1) C、(6,-3) D、(-6,3)
4、△ABC中,2cosB·sinC=sinA,则此三角形是:
A、 直角三角形 B、等腰三角形 C、等边三角形 D、以上均有可能
5、设,
,
是任意的非零平面向量,且相互不共线,则:
①(·
)
-(
·
)
=0 ②|
|-|
|<|
-
|
③(·
)
-(
·
)
不与
垂直 ④(3
+2
)·(3
-2
)=9|
|2-4
|2中,真命题是:
A、①② B、②③ C、③④ D、②④
6、△ABC中,若a4+b4+c4=2c2(a2+b2),则∠C度数是:
A、600 B、450或1350 C、1200 D、300
7、△OAB中,=
,
=
,
=
,若
=
,t∈R,则点P在
A、∠AOB平分线所在直线上 B、线段AB中垂线上
C、AB边所在直线上 D、AB边的中线上
8、正方形PQRS对角线交点为M,坐标原点O不在正方形内部,且=(0,3),
=(4,0),则
=
A、() B、(
) C、(7,4) D、(
)
例1、如图,
,
为单位向量,
与
夹角为1200,
与
的夹角为450,|
|=5,用
,
表示
。
解题思路分析:
以,
为邻边,
为对角线构造平行四边形
把向量在
,
方向上进行分解,如图,设
=λ
,
=μ
,λ>0,μ>0
则=λ
+μ
∵ ||=|
|=1
∴
λ=||,μ=|
|
△OEC中,∠E=600,∠OCE=750,由得:
∴
∴
说明:用若干个向量的线性组合表示一个向量,是向量中的基本而又重要的问题,通常通过构造平行四边形来处理
例2、已知△ABC中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),BC边上的高为AD,求点D和向量坐标。
解题思路分析:
用解方程组思想
设D(x,y),则=(x-2,y+1)
∵=(-6,-3),
·
=0
∴ -6(x-2)-3(y+1)=0,即2x+y-3=0 ①
∵=(x-3,y-2),
∥
∴ -6(y-2)=-3(x-3),即x-2y+1=0 ②
由①②得:
∴ D(1,1),=(-1,2)
例3、求与向量=
,-1)和
=(1,
)夹角相等,且模为
的向量
的坐标。
解题思路分析:
用解方程组思想
法一:设=(x,y),则
·
=
x-y,
·
=x+
y
∵
<,
>=<
,
>
∴
∴
即
①
又||=
∴ x2+y2=2 ②
由①②得 或
(舍)
∴
=
法二:从分析形的特征着手
∵ ||=|
|=2
·
=0
∴ △AOB为等腰直角三角形,如图
∵ ||=
,∠AOC=∠BOC
∴ C为AB中点
∴ C()
说明:数形结合是学好向量的重要思想方法,分析图中的几何性质可以简化计算。
例4、在△OAB的边OA、OB上分别取点M、N,使||∶|
|=1∶3,|
|∶|
|=1∶4,设线段AN与BM交于点P,记
=
,
=
,用
,
表示向量
。
解题思路分析:
∵ B、P、M共线
∴
记=s
∴
①
同理,记
∴
=
②
∵
,
不共线
∴
由①②得解之得:
∴
说明:从点共线转化为向量共线,进而引入参数(如s,t)是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一,利用该定理唯一性的性质得到关于s,t的方程。
例5、已知长方形ABCD,AB=3,BC=2,E为BC中点,P为AB上一点
(1)利用向量知识判定点P在什么位置时,∠PED=450;
(2)若∠PED=450,求证:P、D、C、E四点共圆。
解题思路分析:
利用坐标系可以确定点P位置
如图,建立平面直角坐标系
则C(2,0),D(2,3),E(1,0)
设P(0,y)
∴
=(1,3),
=(-1,y)
∴
·
=3y-1
代入cos450=
解之得(舍),或y=2
∴ 点P为靠近点A的AB三等分处
(3)当∠PED=450时,由(1)知P(0,2)
∴ =(2,1),
=(-1,2)
∴·
=0
∴ ∠DPE=900
又∠DCE=900
∴ D、P、E、C四点共圆
说明:利用向量处理几何问题一步要骤为:①建立平面直角坐标系;②设点的坐标;③求出有关向量的坐标;④利用向量的运算计算结果;⑤得到结论。
5、向量既是重要的数学概念,也是有力的解题工具。利用向量可以证明线线垂直,线线平行,求夹角等,特别是直角坐标系的引入,体现了向量解决问题的“程序性”特点。
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