3. 设非零向量,,,若= + + ,则||的取值范围是( )
A.[0,1] [0,2] [0,3] [-3,3]
2. (2006福建)已知点C在内,使。设,则等于 ( )
A. B.3 C. D.
1.(2006上海) 如图,在平行四边形ABCD中,下列
结论中错误的是 ( )
(A); (B);
(C); (D);
4.两个向量共线定理,会由此定理证共线、求交点或线段长度,比值.
3.实数与向量的积
2.向量加法减法:
1.向量的有关概念: ①向量②零向量③单位向量④平行向量(共线向量)⑤相等向量
2.(2005全国Ⅰ)的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,,则实数m = .是题(3)的结果.
[例4]一条河的两岸平行,河的宽度为,一艘船从处出发航行到河的正对岸处,船的航行速度为,水流速度为. (1)试求的夹角(精确到),及船垂直到达对岸所用的时间(精确到); (2)要使船到达对岸所用时间最少, 的夹角应为多少?
解(1)依题意,要使船到达对岸,就要使的合速度的方向正好垂直于对岸,所以,
的夹角满足,,故的夹角;船垂直到达对岸所用的时间.
(2)设的夹角为(如图),在垂直方向上的分速度的和为,而船到达对岸时,在垂直方向上行驶的路程为,从而所
用的时间为,显然,当时,最小,即船头
始终向着对岸时,所用的时间最少,为.
◆提炼方法:理解物理意义,用向量的知识解决.
[研讨.欣赏]如图4,求证ΔABC的三条
角平分,AD,BE,CF交于一点.
证明:设,CF,BE交于点I.由于
C,I,F共线, B,I,E共线,可设
由得,
∵不共线,∴
同理设CF,AD交于点J,,可求得δ=λ,即J与I重合,说明三条角平分线交于一点.
◆方法提炼:相邻两边上单位向量的和向量在两边夹角角的平分线上.
2.证向量平行的方法:
(1)共线向量定理;(2)依定义; (3)用几何方法.
[例3]已知G是△ABC的重心,O是外心,H是垂心,P是平面ABC内任意一点,求证:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) 点O、G、H三点共线。
证明:(1)以向量为邻边作平行
四边形GBEC,则,
又G为△ABC的重心知,从而,
∴。
(2)如图1易知,,;
三式相加得
(3)作辅助线如图2,DA⊥AC,DB⊥BC,∴DA//BH,DB//AH
在ADBH中,,
∴
(4)在(2)中取P为O,得
∴,点O、G、H共线。
◆提炼方法:1.明确解题目标,用好加法的两个法则、几何图形和向量中处理问题的一些手法,如向量共线、点共线的证法和用法;
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