3．(2008·全国卷Ⅰ)如图3所示，一物体自倾角为θ的固定斜面

顶端沿水平方向抛出后落在斜面上．物体与斜面接触时速度

与水平方向的夹角φ满足　　　　　　　　　　 　　(　) 　　　图3

A．tanφ＝sinθ　 　　　　　　　 B．tanφ＝cosθ

C．tanφ＝tanθ　 　　　　　　　 D．tanφ＝2tanθ

解析：物体的竖直分速度与水平分速度之比为tanφ＝，物体的竖直分位移与水平

分位移之比为tanθ＝，故tanφ＝2tanθ，D正确．

　 答案：D

2．如图2所示，A、B为两个挨得很近的小球，并列放于光滑斜

面上，斜面足够长，在释放B球的同时，将A球以某一速度

v₀水平抛出，当A球落于斜面上的P点时，B球的位置位于　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　) 　　　　图2

A．P点以下

B．P点以上

C．P点

D．由于v₀未知，故无法确定

解析：设A球落到P点的时间为t_A，AP的竖直位移为y；B球滑到P点的时间为t_B，

BP的竖直位移也为y，则：t_A＝ ，t_B＝ ＝　 ＞t_A(θ为斜面倾

角)．故B项正确．

答案：B

1．如图1所示，斜面上有a、b、c、d四个点，ab＝bc＝cd.从a点正

上方的O点以速度v水平抛出一个小球，它落在斜面上的b点．若

小球从O点以速度2v水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　) 　　图1

A．b与c之间某一点

B．c点

C．c与d之间某一点

D．d点

解析：如右图所示，作c点在竖直方向的投影点c′，则以2v抛

出的小球应落在c′点(如果没有斜面)，所以碰上斜面的话，就应

在b与c之间．

答案：A

(三)　　　 解答题

　　 20、某天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共6节课，如果第1节不排体育，最后1节不排数学，那么共有多少种不同的排课表的方法。

21、有甲、乙、丙三位老师，分到6个班上课：

(1)每人上2个班课，有多少种分法？

(2)甲、乙都上1个班课，丙上4个班课，有多少种分法？

(3)2人各上1个班课，1个人上4个班课，有多少种分法？

　　 22、在x(1-x)^k+x²(1+2x)⁸+x³(1+3x)¹²的展开式中，含x⁴的系数是144，求k的值并求出含x²项的系数等于多少？

23、某气象站天气预报的准确率为80%，求：

　 (1)5次预报中恰有4次准确的概率；

　 (2)5次预报中至少有4次准确的概率(结果保留2位有效数字)。

24、有6个房间安排4个旅游者住，每人可以进住任一房间，且进住房间是等可能的，试求下列事件的概率：

(1)事件A：指定的4个房间各有1人；

(2)事件B：恰有4个房间中各有1人；

(3)事件C：指定的某个房间中有2人；

(4)事件D：第1号房间有1人，第2号房间有3人。

25、有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8，0.7，从两批种子中各取1粒，求：

　 (1)2粒种子都能发芽的概率；

　 (2)至少有1粒种子发芽的概率；

　 (3)恰好有1粒种子发芽的概率。

26、如图构成系统的每个元件的可靠性为r(0<r，r<1)，且各个元件能否正常工作是相互独立的，试求图中两种系统的可靠性。

(二)　　　 填空题

15、空间12个点，其中5个点共面，此外无任何4个点共面，这12个点最多可决定_________个不同的平面。

16、(4+2x+x²)(2-x)⁷展开式中x⁵的系数为________。

17、=__________。

18、有1个数字难题，在半小时内，甲能解决它的概率是，乙能解决它的概率是，两人试图独立地在半小时内解决它，则：两人都未解决的概率为__________；问题得到解决的概率为__________。

19、一次考试出了10个选择题，每道题有4个可供选择的答案，其中1个是正确的，3个是错误的，某学生只知道5个题的正确答案，对其他5个题全靠猜回答，那么这个学生卷面上正确答案不少于7个题的概率是_________。

(一)　　　 选择题

　　 1、某一排共12个座位，现甲、乙、丙三人按如下要求入座，每人左右两旁都有空座位，且三人的顺序是甲必须在另两人之间，则不同的座法共有

A、60种　　　　　 　 B、112种　　　　　 　 C、242种　　　　 　 D、672种

2、某同学从6门课中选学2门，其中有2门课上课时间有冲突，另有2门不允许同时选学，则该同学可选学的方法总数有

A、8种　　　 　　　 B、13种　　　　 　　 C、12种　　　 　　　 D、9种

3、如图，在某城市中，M、N两地间有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿图中的矩形的边前进，则从M到N不同的走法共有

A、13种　　　 　　　 B、15种　　　　 　　 C、25种　　　 　　　 D、10种

4、将n个不同的小球放入n个不同的盒子里，恰好有一个空盒的放法种数是

A、　　 　 B、　　　 C、　　　 　 D、

5、若(1-2x)⁹=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₈x⁸+a₉x⁹，则a₁+a₂+…+a₈的值为

A、-1　　　　　　  B、-2　　　　　　　 C、-512　　　　　 　 D、510

6、 展开式中，x⁴的系数为

A、-40　　　　　　 　 B、10　　　　　　　 C、40　　　　　　 　 D、45

7、的展开式中无理项的个数是

A、84　　　　　　 　 B、85　　　　　　　 C、86　　　　　　 　 D、87

8、的展开式中系数最大的项是

A、第3项　　　　 　 B、第4项　　　　　 C、第2或第3项　　 D、第3或第4项

9、掷三颗骰子(各面上分别标以数字1到6的均匀正方体玩具)，恰有一颗骰子出1点或6点的概率是

A、　　　　　 　　 B、　　　　　 　　 C、　　　　　 　　 D、

10、一工人看管三台机床，在一小时内甲、乙、丙三台机床需要工人照看的概率分别是0.9，0.8和0.85，那么在一小时中至少有一台机床不需要照看的概率是

A、0.003　　　　 　　 B、0.612　　　　 　　 C、0.388　　　　 　　 D、0.027

11、在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率P的取值范围是

A、[0.4，1]　　 　　 B、(0，0.4]　　 　　 C、(0，0.6]　　 　　 D、[0.6，1)

12、一批零件10个，其中有8个合格品，2个次品，每次任取一个零件装配机器，若第一次取得合格品的概率是P₁，第二次取得合格品的概率是P₂，则

A、P₁>P₂　　　　 　　 B、P₁=P₂　　　　 　　 C、P₁<P₂　　　　 　　 D、P₁=2P₂

13、一个学生通过某种英语听力测试的概率是1/2，他连续测试n次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n的最小值为

A、3　　　　　　 　 B、4　　　　　　 　　 C、5　　　　　　 　　 D、6

14、甲、乙两人投篮命中的概率分别为p、q，他们各投两次，若p=1/2，且甲比乙投中次数多的概率恰好等于7/36，则q的值为

A、　　　　　　 　 B、　　　　　 　　 C、　　　　　 　　 D、

例1、用n种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图)，要求在①，②，③，④个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色。

(1)若n=6，为甲着色时共有多少种不同方法？

(2)若为乙着色时共有120种不同方法，求n。

解：完成着色这件事，共分四个步骤，可依次考虑为①、②、③、④着色时各自的方法数，再由乘法原理确定决的着色方法数。因此

　 (1)为①着色有6种方法，为②着色有5种方法，为③着色有4种方法，为④着色也只有4种方法。

∴ 共有着色方法6×5×4×4=480种

　 (2)与①的区别在于与④相邻的区域由两块变成了三块，同理，不同的着色方法数是n(n-1)(n-2)(n-3)

由n(n-1)(n-2)(n-3)=120

∴ (n²-3n)(n²-3n+2)-120=0

即(n²-3n)²+2(n²-3n)-12×10=0

∴ n²-3n-10=0

∴ n=5

例2、计算下列各题：

　 (1)

　 (2)

　 (3)

解：(1)原式=

　　　 (2)原式=

　　 (3)原式=

　　　　　　　　 =

例3、按以下要求分配6本不同的书，各有几种分法？

(1)平均分给甲、乙、丙三人，每人2本；

(2)平均分成三份，每份2本；

(3)甲、乙、丙三人一人得1本，一人得2本，一人得3本；

(4)分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；

(5)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另二人每人得1本；

(6)分成三份，一份4本，另两份每份1本；

(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本(均只要求列式)

解：(1)；

　　　 (2)

　　　 (3)

　　　 (4)

　　　 (5)

　　　 (6)

　　　 (7)

评注：有关排列组合混合题常常是先组合再排列。

例4、四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有(　　 )

A、150种　　　 　　 B、147种　　　　 　　　　 C、144种　　　　 　　　　 D、141种

解：从10个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类。第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形(其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱)，它的4个点共面，有3种。以上三种情况不合要求应减掉，所以不同的取法共有(种)

例5、求(4+2x+x²)(2-x)⁷的展开式中x⁵的系数。

解：(4+2x+x²)(2-x)⁷=(8-x³)(x-2)⁶

　　　　　　　　　 =(8-x³)[(x⁶-2C₆¹x⁵+(-2)²C₆²x⁴+(-2)³C₆³x³+(-2)⁴C₆⁴x²+…]

∴ 含x⁵的项为-2×8×C₆¹·x⁵-(-2)⁴C₆⁴x⁵=-336x⁵

∴ x⁵的系数为-336

例6、已知的展开式前三项中的x的系数成等差数列。

(1)求展开式里所有的x的有理项；

(2)求展开式里系数最大的项。

解：(1)∵

由题设可知

解得n=8或n=1(舍去)

当n=8时，通项

据题意，必为整数，从而可知r必为4的倍数，而0≤r≤8

∴ r=0，4，8，故x的有理项为，，

(3)设第r+1项的系数t_r+1最大，显然t_r+1>0，故有≥1且≤1

∵

由≥1得r≤3

又∵

由≤1得：r≥2

∴ r=2或r=3所求项为和

例7、设a>1，n∈N，且n≥2，求证：

证明：设，则(x+1)ⁿ=a

欲证原不等式，即证nx<(x+1)ⁿ-1，其中x>0

∵

即(x+1)ⁿ>nx+1，原不等式成立。

评注：由于(a+b)ⁿ的展开式共有n+1项，故可通过对某些项的取舍来达到近似计算或证明不等式的目的。

例8、盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：

(1)取到的2只都是次品；

(2)取到的2只中正品、次品各一只；

(3)取到的2只中至少有一只正品。

解：从6只灯泡中有放回地任取两只，共有6²=36种不同取法

　 (1)取到的2只都是次品情况为2²=4种，因而所求概率为

　 (2)由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品，第二次取到正品。因而所求概率为

　 (3)由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件，因而所求概率为

例9、甲、乙两人独立地破译1个密码，他们能译出的密码的概率分别为和，求：

(1)恰有1人译出的密码的概率；

(2)至多1人译出的密码的概率；

(3)若达到译出的密码的概率为，至少需要多少个乙这样的人。

解：记“甲译出密码”为事件A，“甲译不出密码”这事件；记“乙译出密码”为事件B，“乙译不出密码”为事件；“两人都译出密码”为事件C，“两人都译不出密码”为事件D；“恰有1人译出密码”为事件E；“至多1人译出密码”为事件F。

　 (1)“恰有1人译出密码”是包括2种情况：一种是，另一种是。这两种情况不能同时发生，是互斥的。

∴

　 (2)“至多1人译出密码”包括两种情况：“2人都译不出密码”或“恰有1人译出密码”，即事件D+E，且事件D、E是互斥的

∴

　 (3)n个乙这样的人都译不出密码的概率为，根据题意得：

　　 解得：n=16

例10、某数学家有两盒火柴，每盒都有n根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根，求他发现用完一盒时另一盒还有r根(1≤r≤n)的概率。

解析：由题意知：数学家共用了2n-r根火柴，其中n根取自一盒火柴，n-r根取自另一盒火柴。

由于数学家取火柴时，每次他在两盒中任取一盒并从中抽取一根，故他用完的那一盒取出火柴的概率是，他不从此盒中取出一根火柴的概率也是。

由于所取的2n-r根火柴，有n根取自用完的那一盒的概率为：

5、概率

(1)概率是频率的近似值，两者是不同概念

(2)等可能事件中概率，P(A)∈[0，1]

(3)互斥事件A，B中有一个发生的概率：加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)

特例：时，，即对立事件的概率和为1

　 (4)相互独立事件A，B同时发生的概率P(A·B)=P(A)P(B)

　 (5)事件A在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率P_n(k)=C_n^kP^k(1-P)^n-k，其中P为事件A在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]ⁿ展开的第k+1项

4、二项式定理

通项公式，r=0，1，2，…，n

二项式系数的性质：

　 (1)对称性，在展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即，

；

　 (2)增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值，当n是偶数时，中间一项最大；当n是奇数时，中间两项，相等，且为最大值；

　 (3)

3、处理排列组合应用题的规律

(1)两种思路：直接法，间接法

(2)两种途径：元素分析法，位置分析法

　 (3)对排列组合的混合题，一般先选再排，即先组合再排列。弄清要完成什么样的事件是前提

　 (4)基本题型及方法：捆绑法，插空法，错位法，分组分配法，均匀分组法，逆向思考法等