本章主要内容是极限和导数的概念与运算法则，以及导数在几何、函数等方面的应用。

　 (1)极限是本章也是整个微积分的基础概念,它包括数列极限和函数极限，它们都是是在无限变化过程中(n→∞，x→∞或x→x₀)的变化趋势，这一共同点决定了两类极限有类似的运算性质；如果两个数列(或函数)有极限，那么它们的和、差、积、商的极限分别等于这两个数列(或函数)的极限的和、差、积、商(作为除数的数列或函数的极限不能为0)。其原因在于无穷数列{a_n}是定义域为N₊的特殊函数a_n=f(n)，数列的极限是函数极限=A的特例。

极限概念及运算性质决定了确定极限的两种方法：一是利用数形结合思想，从量变中认识质变的数学思想方法，即极限方法。利用极限的方法求出了变速直线运动的瞬时速度与曲线上某点的切线方程，并从中抽象出函数的导数概念。导数是一种特殊的函数极限，，x₀变化时，f’(x₀)就是导函数，二是利用极限的运算法则，可推导出最常用的导数公式与运算法则：c’=0(c为常数)，(xⁿ)’=nx^n-1(n∈N₊)，[f(x)±g(x)]’=f’(x)±g’(x)，[cf(x)]’=cf’(x)，进一步可以求出所有多项式函数的导数。

　 (2)导数f’(x)是函数平均变化率的极限，瞬时速度、切线斜率、经济学中的边际成本都与平均变化率有关，因而导数有广泛的作用。

　 (3)本章思想方法

①极限思想：在变化中求不变，在运动中求静止的思想；

　　 ②数形结合思想，如用导数的几何意义及用导数求单调性、极值等。

　 极限与导数复习

2.(2008年江苏18)

在平面直角坐标系中，记二次函数()与两坐标轴有

三个交点．经过三个交点的圆记为．

(1)求实数b的取值范围；

(2)求圆的方程；

(3)问圆是否经过定点(其坐标与的无关)？请证明你的结论．

解：本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．

(Ⅰ)令＝0，得抛物线与轴交点是(0，b)；

令，由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．

(Ⅱ)设所求圆的一般方程为

令＝0 得这与＝0 是同一个方程，故D＝2，F＝．

令＝0 得＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1．

所以圆C 的方程为.

(Ⅲ)圆C 必过定点，证明如下：

假设圆C过定点 ，将该点的坐标代入圆C的方程，

并变形为　　　　 (*)

为使(*)式对所有满足的都成立，必须有，结合(*)式得

，解得

经检验知，点均在圆C上，因此圆C 过定点。

1.(2009年江苏18)(本小题满分16分)

在平面直角坐标系中，已知圆和圆.

(1)若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；

(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。

[解析] 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。满分16分。

(1)设直线的方程为：，即

由垂径定理，得：圆心到直线的距离，

结合点到直线距离公式，得：

化简得：

求直线的方程为：或，即或

(2) 设点P坐标为，直线、的方程分别为：

，即：

因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得：：圆心到直线与直线的距离相等。

故有：，

化简得：

关于的方程有无穷多解，有：解之得：点P坐标为或。

12.(2007年山东理15)与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是_________.

[答案]:. [分析]：曲线化为，其圆心到直线的距离为所求的最小圆的圆心在直线上，其到直线的距离为，圆心坐标为标准方程为。

11.(2008年上海理15)如图，在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成区域(含边界)，A、B、C、D是该圆的四等分点，若点P(x,y)、P’(x’,y’)满足x≤x’ 且y≥y’，则称P优于P’，如果中的点Q满足：不存在中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧(　 )

　　 A．　 　　B． 　　C． 　　D． 　

[答案][解析]依题意，在点Q组成的集合中任取一点，过

该点分别作平行于两坐标轴的直线，构成的

左上方区域(权且称为“第二象限”)与点

Q组成的集合无公共元素，这样点Q组成的

集合才为所求. 检验得：D． 　

10.(2008年江苏9)如图，在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，点在线段AO上的一点(异于端点)，这里均为非零实数，设直线分别与边交于点，某同学已正确求得直线的方程为，请你完成直线的方程： (　 ▲ 　)。

[解析]本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填．事实上，由截距式可得直线AB：，直线CP： ，两式相减得，显然直线AB与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．[答案]

9.(2008年广东理11)经过圆的圆心，且与直线垂直的直线

方程是 　　　　　．

[解析]易知点C为，而直线与垂直，我们设待求的直线的方程为，将点C的坐标代入马上就能求出参数的值为，故待求的直线的方程为。

8.(2009年天津理14)若圆与圆(a>0)的公共弦的长为，则___________

解析：由知的半径为，由图可知

解之得

7.(2009年天津理13) 设直线的参数方程为(t为参数)，直线的方程为y=3x+4则与的距离为_______ 　　

[考点定位]本小题考查参数方程化为普通方程、两条平行线间的距离，基础题。

解析：由题直线的普通方程为，故它与与的距离为。