[例1]平面内给定三个向量，回答下列问题：

(1)求满足的实数m,n；

(2)若，求实数k；

(3)若满足，且，求

解：(1)由题意得

所以，得

(2)

(3)设则

由题意得

得或,

◆方法提炼：1.利用平面向量基本定理,

2.利用共线向量定理.

[例2](2006全国Ⅱ)已知向量。

　　　 (Ⅰ)若，求；

　　　 (Ⅱ)求的最大值。

解：(Ⅰ)

得　 　所以　 　

(Ⅱ) 由

取最大值，

◆解题评注：向量一三角函数综合是一类常考的题目，要理解向量及运算的几何意义，要能熟练解答。

[例3]已知中，A(2,-1)，B(3,2)，C(-3,-1),BC边上的高为AD，求。

解：设D(x,y), 则

得

所以

[例4]如图，设抛物线y²=2px(p>0)的焦点为F经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明直线AC经过原点O

解法一：设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),F(0)，则C(y₂)

则

∵ 与共线, ∴

即　　　　　 (*)

代整理得，y₁·y₂=-p²

∵

∴ 与共线，即A、O、C三点共线，

也就是说直线AC经过原点O

解法二：设A(x₁,y₁)，C(,y₂)，B(x₂,y₂)

欲证A、O、C共线，只需且仅需，即,又

∴ 只需且仅需y₁y₂=-p²，用韦达定理易证明

解题评注：两向量共线的应用非常广泛，它可以处理线段(直线)平行，三点共线(多点共线)问题，使用向量的有关知识和运算方法，往往可以避免繁冗的运算，降低计算量，不仅方法新颖，而且简单明了。向量与解析几何的综合是又一命题热点。

核心步骤:

[研讨.欣赏](2005上海)在直角坐标平面中，已知点P₁(1,2),P₂(2,2²), P₃(3,2³)……P_n(n,2ⁿ)，其中是正整数，对平面上任一点A₀，记A₁为A₀关于点P₁的对称点，A₂为A₁关于点P₂的对称点，．．．，A_n为A_n-1关于点P_n的对称点。

(1)求向量的坐标；

(2)当点A₀在曲线C上移动时，点A₂的轨迹是函数y=f(x)的图象，其中f(x)是以3为周期的周期函数，且当x∈(0,3]时，f(x)=lgx。求以曲线C为图象的函数在上的解析式；　

(3)对任意偶数n，用n表示向量的坐标。

解.(1)设点A₀(x,y), A₀关于点P₁的对称点A₁的坐标为(2-x,4-y),

　 A₁为P₂关于点的对称点A₂的坐标为(2+x,4+y),

　 ∴={2,4}.

　 (2) ∵={2,4},

∴f(x)的图象由曲线C向右平移2个单位,再向上平移4个单位得到.

又x∈(3k,3k+3)时,x-3k∈(0,3), f(x)周期是3,所以f(x)=f(x-3k)=lg(x-3k)

设曲线C的函数是y=g(x),则

g(x)=f(x+2)-4=lg(x+2-3k)-4, [此时x+2∈(3k,3k+3), 即 x∈3k-2,3k+1),]

是以3为周期的周期函数.

当x∈(1,4]时,g(x)=lg(x+2-3)-4=lg(x-1)-4.

　(3) =,

由于,得

　=2()

=2({1,2}+{1,2³}+┄+{1,2^n-1})

=2{,}={n,}

4. ; 5. [－6，2]; 　6.(11，6). 7.或

3.∵|a+b|²+|a－b|²=2(|a|²+|b|²)，∴|a+b|²=2(|a|²+|b|²)－|a－b|²=6. 法2:利用

7.已知向量，,向量与平行,︱︱=4_则向量的坐标是_____________　　

◆例题答案:1-3.DBD;

6.设=(3，1)，=(-1，2)，⊥，∥，O为坐标原点，则满足+=的的坐标是＿＿＿＿　

5.(2005湖北)．已知向量不超过5，则k的取值范围是　　　　　

4.(2005全国Ⅲ)已知向量，且A.B.C三点共线，则k=　　　 .

3.已知向量a、b满足|a|=1，|b|=2，|a－b|=2，则|a+b|等于　　　　　　　 (　 )

A.1　　　　　　　　　　　　　　　 B.　　　　　　　　　　　　　 C.　　　　　　　　　　　　　 D.

剖析：欲求|a+b|，一是设出a、b的坐标求，二是直接根据向量模计算.

2.平面上A(-2，1)，B(1，4)，D(4，-3)，C点满足，连DC并延长至E，使||=||，则点E坐标为：　　　　　　 　　　　　　　　　　　　(　 )

A、(-8，)　　 B、()　　 C、(0，1)　　　 D、(0，1)或(2，)

1.(2006山东)设向量a=(1,-3)，b=(-2,4)，c=(-1,-2)，若表示向量4a、4b-2c、2(a-c)、d的有向线段依次首尾相接能构成四边形，则向量d为　　　　　　　　 (　 )

A.(2,6) 　　　　 B.(-2,6)　　　　　　 C.(2,-6)　　　　　　 D.(-2,-6)