(一)实验误差的概念

1、为什么要讨论测量误差　　 任何物质都有自身的各种各样的特性，反映这些特征的量所具有的客观真实数值，称为真值。测量的目的就是力图得到真值，但是由于测量的方法、仪器、环境和测量者本身都必然存在着某些不理想情况，所以测量不能无限精确，在绝大多数情况下，测量结果与客观存在的真值之间总有一定的差异，这就是测量误差，测量误差的大小反映我们的测量偏离客观真实数值的大小，反映测量结果的可信程度。

从某种意义上说，不给出测量误差的测量结果是没有意义的，是无法使用的，例如我们测量出某种合金的密度是(3.2，即说明这种合金的密度不会小于，不会大于。如果用这种合金制造飞机，就可以估计出飞机的最大和最小质量。相反，如果测出的密度没有误差范围，是没有实际使用意义的。

测量误差是反映测量结果好坏的物理量，它与实验的各个方面都有密切的关系，例如，我们要根据测量误差的限度制定实验方案，即确定实验原理和步骤，并选用器材，在实验操作过程中，要千方百计减小误差，最后，通过对实验数据的处理，确定实验结果的误差，由此可见，考虑实验误差是贯穿于实验全过程的事。

2、实验误差的分类

(1)绝对误差和相对误差　 误差按其表达形式可分为绝对误差和相对误差。

1)绝对误差：测量值与真值之差的绝对值叫绝对误差，定义为：

绝对误差()=

绝对误差反映了测量值偏离真值的大小。

2)相对误差：绝对误差无法表示测量质量的高低，例如在测量上海到北京的距离时，如果绝对误差是1米，测量质量已很高；但是如果测量百米跑道时产生1米的误差，则测量质

量就不好了，为了说明测量质量的高低，我们还要引入相对误差的概念，其定义为：

相对误差(E)= 绝对误差()真值(A)

相对误差常用百分数的形式来表示：

(2)系统误差和偶然误差　 误差按其性质及其产生的原因，又可以分为系统误差和偶

然误差两种。

1)系统误差：系统误差的特征是带有确定的方向性，在相同的条件下，对同一量进行多次测量，误差的正负保持不变，如果测量值偏大，则总是偏大；如果测量值偏小，则总是偏小，系统误差的来源主要有以下几个方面：

原理误差：由于测量所依据的理论公式的近似性(不完善性)而造成的误差，例如，单摆的周期公式，它成立的条件是摆角趋近于零，否则就是一个近似公式；又如用伏安法测电阻时，因忽略了电流表的分压作用或电压表的分流作用，测得的结果只能是近似值。

仪器误差：由于测量仪器本身的缺陷而造成的误差，例如尺子过长或过短、秒表零点不准、天平不等臂、砝码不够标准等等。

环境误差：由于测量时周围的环境(温度、压力、湿度等)不理想而造成的误差。例如在20℃时定标的标准电阻在30℃的环境中使用等。

很明显，由于系统误差有固定的偏向性，所以用多次测量求平均值不能减小系统误差，但如果我们找到了某个系统误差产生的原因，就可以采取一定的方法去减小它的影响，或者对测量结果进行修正。

2)偶然误差：偶然误差的特征是带有随机性(因此偶然误差也叫随机误差)。在测量中，如果已经基本消除了引起系统误差的一切因素，而测量结果仍然无规则地弥散在一定的范围内，这种误差叫偶然误差。偶然误差的可能来源是：测量者自身感官(如听觉、视觉、触觉)的分辨能力不尽相同，外界环境的干扰等等。

偶然误差是无法控制的，但它的出现却服从一定的统计规律。常见的一种规律是：大于真值和小于真值的测量值了现的机会相等；而且误差较小的测量值比误差较大的测量值出现的机会多；偏离真值很大的测量值出现的机会趋于零。因此，用增加测量次数求平均值的方法，可以减小偶然误差。

关于因仪器损坏，设计错误，操作不当而造成的测量错误，则不是测量误差。

3．4．5、毛细现象

管径很细的管子叫做毛细管。将毛细管插入液体内时，管内、外液面会产生高度差。如果液体浸润管壁，管内液面高于管外液面；如果液体不浸润管壁，管内液面低于管外液面。这种现象叫毛细现象。如图3-4-9所示为浸润液体的情形。设毛细管的半径为r，液体的表面张力系数为α，接触角θ，管内液面比管外液面高h。则凹形液面产生的向上的表面张力是，管内h高的液柱的重力是，固液注平衡，则：

对于液面不浸润管壁的情况，上式仍正确，此时θ是钝角，h是负值，表示管内液面低于管外液面。

如果液体完全浸润管壁θ=0，为凹半球弯月面，表面张力沿管壁身上，。

例　 在两端开口，半径1mm的玻璃毛细管内装满水，然后把它竖直放置，这时留在管中水柱有多长？水的表面张力系数。

解：水能完全浸润管壁，留在管内的水柱重量应与上下两个弯月面的表面张力相平衡。

注意：上弯月面θ=0，下弯月面θ=π。　　

于是

§3．5　典型例题分析

例1、绷紧的肥皂薄膜有两个平行的边界，线AB将薄膜分隔成两部分(如图3-5-1)。为了演示液体的表面张力现象，刺破左边的膜，线AB受到表面张力作用被拉紧，试求此时线的张力。两平行边之间的距离为d，线AB的长度为l(l＞πd/2)，肥皂液的表面张力系数为。

解：刺破左边的膜以后，线会在右边膜的作用下形状相应发生变化(两侧都有膜时，线的形状不确定)，不难推测，在l＞πd/2的情况下，线会形成长度为的两条直线段和半径为d/2的半圆，如图3-5-2所示。线在C、D两处的拉力及各处都垂直于该弧线的表面张力的共同作用下处于平衡状态，显然

式中为在弧线上任取一小段所受的表面张力，指各小段所受表面张力的合力，如图3-5-2所示，在弧线上取对称的两小段，长度均为r△θ，与x轴的夹角均为方θ，显然

而这两个力的合力必定沿x轴方向，(他们垂直x轴方向分力的合力为零)，这样

所以

因此　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

说明　对本题要注意薄膜有上下两层表面层，都会受到表面张力的作用。

例2、在水平放置的平玻璃板上倒一些水银，由于重力和表面张力的影响，水银近似呈圆饼形状(侧面向外凸出)，过圆盘轴线的竖直截面如图3-5-3所示。为了计算方便，水银和玻璃的接触角可按180º计算，已知水银密度，水银的表面张力系数。当圆饼的半径很大时，试估算厚度h的数值大约是多少(取一位有效数字)？

分析：取圆饼侧面处宽度为△x，高为h的面元△S，图3-5-3所示。由于重力而产生的水银对△S侧压力F，由F作用使圆饼外凸。但是在水银与空气接触的表面层中，由于表面张力的作用使水银表面有收缩到尽可能小的趋势。上下两层表面张力的合力的水平分量必与F反向，且大小相等。△S两侧表面张力可认为等值反向的。

解：

由于0<θ<90º,有　　　　

例3、在连通器的两端吹出两个相同的球形肥皂泡A和B后，如图3-5-4，关闭活栓K，活栓和则依旧打开，两泡内的空气经管相通，两泡相对平衡。(1)若A泡和B泡的形状小于半球，试证明A泡和B泡之间的平衡是稳定的。若A泡和B泡的形状大于半球，试证明A泡和B泡之间的平衡是不稳定的。(2)若A泡和B泡的形状大于半球，设两管口的半径均为，A泡和B泡的半径均为。试问当A泡和B泡分别变化成何种形状时，两泡能再次达到平衡，设空气因压缩或膨胀所引起的密度变化可以忽略。

分析：开始时，A泡B泡均小于半球，泡半径应大于管半径。若因扰动使A泡缩小，则泡半径增大，表面张力应减小，A泡内压强变小，这时B泡内气体过来补充，使A泡恢复扰动前的形状，重新达到平衡。对于A泡因扰动稍增大，或B泡因扰动稍增大或缩小的情形可作同样分析。

若A、B泡形状相同，均大于半球。因扰动使A泡缩小，则泡半径变小，表面张力相应增加，A泡内压强变大，使气体从A泡到B泡，A泡缩小和B泡增大后，扰动将持续发展。总之，当A泡和B泡的形状大于半球时，其间的平衡是不稳定的。值得注意的是，当A泡缩小到半球形状时，即当时，A泡半径最小。若再收缩使形状小于半球时，A泡半径再度增大，根据上面的分析，A泡内的压强将再度下降。当A泡小于半球，B泡大于半球，而两者的半径相同时，两泡内的压强再次相同，这又是一个新的平衡状态。

解：(1)见上面的分析。

(2)新的平衡状态为A泡小于半球，B泡大于半球，两者半径均为r，图3-5-5，有

解得r=3.04cm

例4、在相互平行的石墨晶格上，原子排成正六角形栅格，即“蜂窝结构”如图1-5-6(a)所示，平面上原子间距为m，若石墨的密度为，求两层平面间的距离。(碳原子量为12)

解：显然应根据晶格模型进行研究，把晶格平面适当平移，使上下层原子正好对齐，这时原子系统可看成如图3-5-6(b)那样，每个原子属于6个不同晶胞，因此一个晶胞中12/6=2个原子，石墨中的原子数是个。晶胞数是上述原子数的一半，故一个晶胞的体积是

晶胞的底面积是　

说明在晶格模型的计算中，初学者往往把晶胞所包含的原子数搞错，误认为石墨晶胞包含了12个原子。这里的关键是要分析其中每一个原子是哪几个晶胞所共有，那么每个晶胞仅只能算其1/n个原子。

例5、用圆柱形的杯子做“覆杯”实验，杯子的半径为R，高度为H，假定开始时杯内水未装满，盖上不发生形变的硬板后翻转放手，由于水的重力作用，硬板将略下降，在杯口和平板间形成凹的薄水层，如图3-5-7所示。假定水对玻璃和平板都是完全浸润的，水的表面张力系数为，纸板重为mg，大气压为，水的密度为ρ，则为了保证“覆杯”实验成功，装水时，杯内所留的空气体积不得超过多少？

解：如图3-5-8表示板与杯口间水层的大致形状(为求清晰，图中比例已被夸大)。其中虚线表示整体轮廓，实线则划出其一小片分析其受力，图3-5-9则是俯视平面图。

设内凹的薄水层深度为d，由于完全浸润，它就等于凹面的直径，所取出的水液面宽度为△l，则它受力如下：

f-附着层水对凹面的表面张力，有上(杯沿)下(硬板)两个，其大小为，方向垂直于△l水平向外。

-和划出部分相连的凹面其他部分的水对该液面的作用力，方向沿圆周切线方向，大小为，两力合力大小为

F-液面内外压力差，其方向水平指向圆心，大小为(其中为大气压，p为内部水压强)。

在受力平衡的条件下应有

得　　　　 　　　　　　①

如果以硬板为研究对象，受力如图3-5-10，平衡时有

即　　　　　　　 　　　　　　②

p是水内部的压强，它应等于杯内气体压强加上由水重所引起的压强，若杯内气体压强为，原来装水后空气层厚度为h，则

　　　　　 ③

进行覆杯实验后，硬纸板是盖住杯口的，这时杯内气体压强就等于大气压即，体积，“覆杯”放手后，由于硬纸板受重力作用，板下移距离d(即前述水层厚度)，使杯内气体体积变为，压强就变为，由玻意耳定律得

　　　　　　　　　　　　 ④

把②代入①可求得板重为mg时，水层最大厚度

　　　　　　　　　 ⑤

由②③④式可得

将⑤式代入即可得到极限情况下杯内原来的空气柱厚度，因式子过繁，就不将d值代入了。

说明　当杯子倒转放手后，如果杯内装满水而无空气，则大气对平板的向上压力将远大于杯内水及平板重，因此平板紧压杯口，但如果原来杯内有空气，其压强等于大气压，翻转杯子并放开平板合，水与板重将使板下移，杯内空气体积增大，压强减小，只要条件合适，大气压力有可能承受住杯内气体压力(小于)与水、板重之和。

然而，气压减小量是与气体体积增大量有关，而体积增大则决定于板与杯口间水层的厚度，而该层最大厚度则与表面张力引起的附加压强有关。据此反推，即可得到解题思路。

3．4．4、浸润和不浸润

液体与固体接触的表面，厚度等于分子作用半径的一层液体称为附着层。在附着层中的液体分子与附着层外液体中的分子不同。若固体分子对附着层内的分子作用力-附着力，大于液体分子对附着层的分子作用力--内聚力时，则附着层内的分子所受的合力垂直于附着层表面，指向固体，此时若将液体内的分子移到附着层时，分子力做正功，该分子势能减小。固一个系统处于稳定平衡时，应具有最小的势能，因此液体的内部分子就要尽量挤入附着层，使附着层有伸长的趋势，这时我们称液体浸润固体。反之，我们称液体不浸润固体。

在液体与固体接触处，分别作液体表面的切线与固体表面的切线，在液体内部这两条切线的夹角θ，称为接触角。图3-4-7中，液体与固体浸润时，θ为锐角；液体与固体不浸润时，θ为钝角。两种理想情况是θ=0时，称为完全浸润；θ=π时，称为完全不浸润。

例如：水和酒精对玻璃的接触角θ≈0º，是完全浸润；水银对玻璃的接触角θ≈140º，几乎完全不浸润。

由于液体对固体有浸润和不浸润的情况，所以细管内的液体自由表面呈现不同的弯曲面，叫做弯月面。若液体能浸润管壁，管内液面呈凹弯月面；若液体不能浸润管壁，管内液面呈凸弯月面。液体完全浸润管壁，则θ=0，弯月面是以管径为直径的凹半球面；液体完全不浸润管壁，则θ=π，弯月面是以管径为直径的凸半球面。

例　 在航天飞机中原有两个圆柱形洁净玻璃容器，其中分别装有一定量的水和水银，如图3-4-7(a)和(b)。当航天飞机处于失重状态时，试分别画出这两个容器中液体的形状。

分析：在失重情况下，液体的形状取决于表面张力和与玻璃浸润情况。

解：由于水银对玻璃是不浸润的，附着层面积要尽量小，水对玻璃是浸润的，附着层面积要尽量大，因此将形成如图7-4-8所示的形状。

3．4．3、表面张力产生的附加压强

表面张力的存在，造成弯曲液面的内、外的压强差，称为附加压强，其中最简单的就是球形液面的附加压强，如图3-4-4所示，在半径为R的球形液滴上任取一球冠小液块来分析(小液块与空气的分界面的面积是，底面积是S，底面上的A点极靠近球面)，此球冠形小液体的受力情况为：

在S面上处处受与球面垂直的大气压力作用，由对称性易知，大气压的合力方向垂直于S面，大小可表示为　 。

在分界线上(图中的虚线处)处处受到与球面相切的表面张力的作用，这些表面张力的水平分力相互抵消，故合力也与S面垂直，大小为

球冠形液块的重力mg，但因A点极邻近液面，所以截块很小，mg的数值可忽略。

根据小液块的力学平衡条件可得

将及R、f的表示式代入上式可得

应该指出是上式是在凸液面条件下导出的，但对凹液面也成立，但凹球形液面(如液体中气泡的表面)内的压强p小于外部压强，另外，对球形液泡(如肥皂泡)由于其液膜很薄，液膜的内外两个表面的半径可看成相等，易得球形液泡内部压强比外部压强大数值。

例　 当两个相接触的肥皂泡融合前，常有一个中间阶段，在两个肥皂泡之间产生一层薄膜，见图3-4-5所示。

(1)曲率半径和已知，求把肥皂泡分开的薄膜的曲率半径。

(2)考虑的特殊情况，在中间状态形成前，肥皂泡的半径是什么？在中间膜消失后，肥皂泡的半径是什么？我们假定，肥皂泡里的超压只与表面张力及半径有关，而且比大气压小得多，因此泡内的气体体积不会改变。

解 ：(1)设肥皂液的表面张力系数为，则液泡内的超压为，因此半径小的液泡内的超压大，泡内气体的压强也就比较大，所以连体过渡泡的中间隔膜应向半径较大的泡一边凸出。

设中间隔膜的曲率半径为，则该曲面产生的附加压强为，为了使中间状态的隔膜保持平衡，应有

即。

(2)当时，隔膜的曲率半径，即是一个平面，在界线上任取一点A，它受到两个球面及薄膜的表面张力、、均跟各面相切，如图3-4-6所示。由于是同一种液体，故三力大小，平衡时它们的方向彼此夹120º角，应组成等边三角行，“球幅”的高度d=r/2，所以每过过渡泡的体积为

而压强

设生成过渡泡前的肥皂泡半径为R，则

生成大泡半径为，则

依据玻意耳定律有

若考虑到>>，则泡内气体总体积可认为不变，故可近似得出

说明　对本题，比较有意思的是，泡内超压△p比大气压小得多时，气体的总体积保持不变。

3．4．2表面能

我们再从能量角度研究张力现象，由于液面有自动收

缩的趋势，所以增大液体表面积需要克服表面张力做功，由图3-4-1可以看出，设想使AB边向右移动距离△x，则此过程中外界克服表面张力所做的功为

式中△S表示AB边移动△x时液膜的两个表面所增加的总面积。若去掉外力，AB边会向左运动，消耗表面自由能而转化为机械能，所以表面自由能相当于势能，凡势能都有减小的趋势，而，所以液体表面具有收缩的趋势，例如体积相同的物体以球体的表面积最小，所以若无其他作用力的影响，液滴等均应为球体。

例　 将端点相连的三根细线掷在水面上，如图3-4-2所示，其中1、2线各长1.5cm，3线长1cm，若在图中A点滴下某种杂质，使表面张力系数减小到原来的0.4，求每根线的张力。然后又把该杂质滴在B点，求每根线的张力：已知水的面表张力系数α=0.07N/m。

A滴入杂质后，形成图3-4-3形状，取圆心角为θ的一小段圆弧，该线段在线两侧张力和表面张力共同作用下平衡，则有，式中代入后得。

B中也滴入杂质后，线3松弛即，形成圆产半径cm，仿上面解法得。

3．4．1、表面张力和表面张力系数

液体下厚度为分子作用半径的一层液体，叫做液体的表面层。表面层内的分子，一方面受到液体内部分子的作用，另一方面受到气体分子的作用，由于这两个作用力的不同，使液体表面层的分子分布比液体内部的分子分布稀疏，分子的平均间距较大，所以表面层内液体分子的作用力主要表现为引力，正是分子间的这种引力作用，使表面层具有收缩的趋势。

液体表面的各部分相互吸引的力称为表面张力，表面张力的方向与液面相切，作用在任何一部分液面上的表面张力总是与这部分液面的分界线垂直。

表面张力的大小与所研究液面和其他部分的分界线长度L成正比，因此可写成

式中称为表面张力系数，在国际单位制中，其单位是N/m，表面张力系数的数值与液体的种类和温度有关。

3．3．3、物质的密度和温度的关系

固体和液体的体积随温度而变化，这将引起物体的密度变化，设某物体的质量为m，它在0℃时的体积为，则0℃时该物体的密度是。设物体在t℃时密度，体积，则

。

又有，式中β是固体或液体的体膨胀系数，代入表达式得

。

例1　 一支水银温度计，它的石英泡的容积是0.300cm³，指示管的内径是0.0100cm，如果温度从30.0℃升高至40.0℃，温度计的水银指示线要移动多远？(水银的体胀系数/℃)

解：查表可得石英的线胀系数/℃，则其体胀系数为/℃。与水银的体胀系数/℃相比很小可忽略不计，所以当温度升高时，可以认为石英泡的容积不变，只考虑水银的膨胀，水银体积的增量

水银体积的增量△V，这是在水银指示管中水银上升的体积，所谓水银指示线移动的长度，就是水银上升的高度，即

说明　有些仪器，例如液体温度计，就是利用液体体积的热膨胀特性作为测量依据的。由于体胀系数β与测量物质的种类有关，而且即使是同种物质，β还与温度及压强有关，因此在使用这些仪器时，应考虑到由于β的变化而引起的测量误差。例如一支水银温度计，在冰点校准为0℃，在水的沸点校准为100℃，然后将二者间均分100份，刻上均匀刻度。严格地说，这种刻度是不准确的。由于β值随温度的升而增大，所以在高温处刻度应该稀一些，在低温处应该密一些；如果均匀刻度，则在测高温时读数会偏高，而在低温时读数会偏低。不过这种差别并不大，一般可以忽略。

§3．4　液体的表面张力

3．3．2、液体的热膨胀

液体没有一定的形状，只有一定的体积，因此对液体只有体膨胀才有意义。实验证明，液体的体积跟温度的关系和固体的相同，也可以用下面的公式表示：

式中是在0℃时的体积，是液体在t℃时的体积，β是液体的体胀系数，一般液体的体胀系数比固体大1-2个数量级，并且随温度升高有比较明显的增大。

液体除正常的热膨胀外，还有反常膨胀的现象，例如水的反常膨胀，水在4℃时体积最小，密度最大，而4℃以下体积反而变大，密度变小，直到0℃时结冰为止，正是由于水的这一奇特的性质，使得湖水总是从湖面开始结备，随着气温下降，冰层从湖面逐渐向下加厚，也亏得这一点，水中的生物才安然地度过严冬。

3．3．1、液体的宏观特性及微观结构

液体的性质介于固体与气体之间，一方面，它像固体一样具有一定的体积，不易压缩；另一方面，它又像气体一样，没有一定的形状，具有流动性，在物理性质上各向同性。

液体分子排列的最大特点是远程无序而短程有序，即首先液体分子在短暂时间内，在很小的区域(与分子距离同数量级)作规则的排列，称为短程有序；其次，液体中这种能近似保持规则排列的微小区域是由诸分子暂时形成的，其边界和大小随时改变，而且这些微小区域彼此之间的方位取向完全无序，表现为远程无序。因而液体的物理性质在宏观上表现为各向同性。

液体分子间的距离小，相互作用力较强，分子热运动主要表现为在平衡位置附近做微小振动，但其平衡位置又是在不断变化的，因而，宏观上表现为液体具有流动性。

1．2．7、核反应

原子核之间或原子核与其他粒子之间通过碰撞可产生新的原子核，这种反应属于原子核反应，原子核反应可用方程式表示，例如

即为氦核(α粒子)轰击氮核后产生氧同位素和氢核的核反应，核反应可分为如下几类

(1)弹性散射：这种过程，出射粒子就是入射粒子，同时在碰撞过程中动能保持不变，例如将中子与许多原子核碰撞会发生弹性散射。

(2)非弹性散射：这种过程中出射粒子也是原来的入射粒子，但在碰撞过程中粒子动能有了变化，即粒子和靶原子核发生能量转移现象。例如能量较高的中子轰击原子核使核激发的过程。

(3)产生新粒子：这时碰撞的结果不仅能量有变化，而且出射粒子与入射粒子不相同，对能量较大的入射粒子，核反应后可能出现两个以上的出射粒子，如合成101号新元素的过程。

(4)裂变和聚变：在碰撞过程中，使原子核分裂成两个以上的元素原子核，称为裂变，如铀核裂变

裂变过程中，质量亏损0.2u，产生巨大能量，这就是原子弹中的核反应。

引起原子核聚合的反应称为聚变反应，如

氢弹就是利用氘、氘化锂等物质产生聚变后释放出巨大能量发生爆炸的。

核反应中电荷守恒，即反应生成物电荷的代数和等于反应物电荷的代数和。核反应中质量守恒，即反应生成物总质量等于反应物总质量。这里的质量指相对论质量，相对论质量m与相对论能量E之间的关系是

因此质量守恒也意味着能量守恒。核反应中质量常采用原子质量单位，记为u.lu相当于931.5MeV。

核反应中相对论质量守恒，但静质量可以不守恒。一般来说，反应生成物总的静质量少于反应物总的静质量，或者说反应物总的静质量有亏损。亏损的静质量记为△m，反应后它将以能量形式释放出来，称之为反应能，记为△E，有

需要注意的是反应物若有动能，其相对论质量可大于静质量，但在算反应能时只计静质量。反应能可以以光子形式向外辐射，也可以部分转化为生成物的动能，但生成物的动能中还可以包含反应物原有的动能。

下面讨论原子核反应能的问题：

在所有原子核反应中，下列物理量在反应前后是守恒的：①电荷；②核子数；③动量；④总质量和联系的总能量等(包括静止质量和联系的静止能量)，这是原子核反应的守恒定律。下面就质量和能量守恒问题进行分析。

设有原子核A被p粒子撞击，变为B和q。其核反应方程如下：

A+p→B+q

上列各核和各粒子的静质量M和动能E为

反应前　　　　　　　　　　　

反应后　　　　　　　　　　　

根据总质量守恒和总能量守恒可得

由此可得反应过程中释放的能量Q为：

此式表示，反应能Q定义为反应后粒子的动能超出反应前粒子的动能的差值。这也等于反应前粒子静质量超过反应后粒子的静质量的差值乘以。所以反应能Q可以通过粒子动能的测量求出，也可以由已知的粒子的静质量来计算求出。

下面来讨论怎样由动能来求出Q。设A原子核是静止的。由能量守恒可得

根据反应前后动量守恒得

式中为反应前撞击粒子的动量，和是反应后新生二粒子的动量。上式可改为标量

由于，上式可改为

从上式求出，代入中得

从上式中的质量改为质量数之比可得：

如果事先测知，再测出和β，即可算得Q。

例1　 已知某放射源在t=0时，包含个原子，此种原子的半衰期为30天．

(1)计算时，已发生衰变的原子数；

(2)确定这种原子只剩下个的时刻。

解: 衰变系数λ与半衰期T的关系为

衰变规律可表述为：。

(1)时刻未衰变的原子数为：

已发生衰变的原子数便为：

(2)时刻未发生衰变的原子数为：

由此可解得：

=399天

例2　 在大气和有生命的植物中，大约每个碳原子中有一个原子，其半衰期为t=5700年，其余的均为稳定的原子。在考古工作中，常常通过测定古物中的含量来推算这一古物年代。如果在实验中测出：有一古木碳样品，在m克的碳原子中，在△t(年)时间内有△n个原子发生衰变。设烧成木炭的树是在T年前死亡的，试列出能求出T的有关方程式(不要求解方程)。

解:　 m克碳中原有的原子数为，式中为阿伏加德罗常数。

经过T年，现存原子数为

　　　　　　　　　　　　 (1)

在△T内衰变的原子数为

　　　　　　　　　　　　　 (2)

在(1)、(2)二式中，m、、τ、△T和均为已知，只有n和T为未知的，联立二式便可求出T。

例3.当质量为m，速度为的微粒与静止的氢核碰撞，被氢核捕获(完全非弹性碰撞)后，速度变为；当这个质量为m，速度为的微粒与静止的碳核做对心完全弹性碰撞时，碰撞后碳核速度为，今测出，已知，求此微粒质量m与氢核质量之比为多少？

解:　 根据题意有，即有

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1)

又因　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　 (2)

　　　　　　　　　　　　　　　　　 (3)

由(2)式得

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (4)

由(3)式得

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (5)

由(4)、(5)式得

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (6)

(6)m(4)得　　　　

所以。此微粒的质量等于氢核的质量。