3．在水平铁路转弯处，往往使外轨略高于内轨，这是为了(　　 )

A．减轻火车轮子挤压外轨

B．减轻火车轮子挤压内轨

C．使火车车身倾斜，利用重力和支持力的合力提供转弯所需向心力

D．限制火车向外脱轨

2．一汽车通过拱形桥顶点时速度为10 m/s，车对桥顶的压力为车重的，如果要使汽车在桥顶对桥面没有压力，车速至少为( 　)

A．15 m/s　　　　　　　　　　 B．20 m/s　　　　 　C．25 m/s　　　　　　　 　 D．30 m/s

1．一辆卡车在丘陵地匀速行驶,地形如图所示，由于轮胎太旧，途中爆胎，爆胎可能性最大的地段应是(　 　)

A．a处　　 　　　　　 　B．b处　　　 　C．c处　　　　 　　 D．d处

9．临界问题

⑴ 圆周运动中临界问题分析，应首先考虑达到临界条件时物体所处的状态，然后分析该状态下物体的受力特点，结合圆周运动的知识，列出相应的动力学方程。

例6　 如图所示，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为30⁰，物体以速率v绕圆锥体轴线做水平圆周运动：

⑴ 当时，求线对物体的拉力；

⑵ 当 时，求线对物体的拉力。

解析　 临界条件为圆锥体对小球的支持力F_N=0

如图1所示， ，得：

⑴ 因v₁<v₀ 　F_N≠0 ， 对小球受力分析如图2。

Fsinθ－F_Ncosθ=mv₁²/(Lsinθ)

Fcosθ+F_N sinθ－mg=0

解之得：

⑵ 因v₂＞v₀，物体离开斜面，对小球受力分析如图3。

Fsinα=mv₂²/(Lsinα)

Fcosα－mg=0　　　　　　　　

解之得： F=2mg

思考　 用一根细线一端系一小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥顶上，如图12(1)所示，设小球在水平面内作匀速圆周运动的角速度为ω，线的张力为T，则T随ω²变化的图象是图12(2)中的(　 )

⑵ 求解范围类极值(临界)问题，应注意分析两个极端状态，以确定变化范围

例7　 如图，直杆上O₁O₂两点间距为L，细线O₁A长为，O₂A长为L，A端小球质量为m，要使两根细线均被拉直，杆应以多大的角速度ω转动？

解析 　当ω较小时，线O₁A拉直，O₂A松弛，而当ω太大时O₂A拉直，O₁A将松弛。设O₂A刚好拉直，但F_O2A仍为零时，角速度为ω₁，此时∠O₂O₁A =30⁰，对小球：

在竖直方向：　 F_O1A·cos30⁰＝mg　　　　　　 ①

在水平方向：　 F_O1A·sin30⁰＝　 ②

由①②得

设O₁A由拉紧转到刚被拉直，F_O1A变为零时，角速度为ω₂

对小球：F_O2A·cos60⁰=mg　　 ③

F_O2A·sin60⁰=mω₂²L·sin60⁰ ④

由③④得，故

[同步检测]

8．两点理解

⑴ 关于匀速圆周运动与变速圆周运动的理解

① 它们共同遵守的规律是瞬时作用规律和一些瞬时关系：如牛顿第二定律，a_n==ω²r，v=ωr等。

② 它们的不同之处是：变速圆周运动物体受到大小也在不断变化的切向力的作用，产生着切向加速度，改变着物体的速率。定量地解决这类问题往往还需要应用功能关系或能的转化和守恒定律。

⑵ 对向心运动和离心运动的理解

离心运动和向心运动的原因是什么？从向心力公式F_n==mω²r的意义分析：公式的左边F_n是物体实际受到的力在半径方向上的分量，是外界对物体提供的向心力，而公式的右边是指质量为m的物体在半径为r的圆周上，以线速度大小v运动时所需要的向心力的大小。F_n和是一种供需关系，理解了这种关系，便理解了离心运动和向心运动现象。讨论：

① 外界对物体提供的向心力大于物体做圆周运动所需的向心力，即F_n＞时，物体做靠近圆心的运动。

② 外界对物体提供的向心力小于物体做圆周运动所需要的向心力时，即F_n＜时，称为向心力不足，物体做远离圆心的运动。

物体做离心运动时，并不是有一个离心力作用在物体上而使物体这样运动，离心力是不存在的，离心运动的原因是外力不足以提供所需的向心力所致，同理，物体做向心运动是外力过大的原因。离心运动和向心运动都不再是圆周运动，而是变加速曲线运动或者匀速直线运动。

7．竖直平面内物体做圆周运动过最高点的情况分析

⑴ 没有支撑的小球，如图10(细绳约束、外侧轨道约束下)在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况。

① 当，即时，v₀为小球恰好过最高点的临界速度。

② 当，即时，(绳、轨道对小球产生拉力和压力)，小球能过最高点。

③ 当，即时，小球不能通过最高点，实际上小球还没有到达最高点就已经脱离了圆周轨道

例4　 用长L=0.6 m的绳系着装有m=0.5 kg水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”。求：

(1)最高点水不流出的最小速度为多少？

(2)若过最高点时速度为3 m/s，此时水对桶底的压力多大？

解析 (1)以水为研究对象，水通过最高点的临界条件为　 mg=m　①

由式①解得 v₀==m/s=m/s≈2.42 m/s

(2)v=3 m/s>v₀，水不会流出，设桶底对水的压力为F_N，则由牛顿第二定律有　 mg+F_N=m　 ②

由式②解得　 F_N=m－mg=0.5×(－9.8)N=2.6N

根据牛顿第三定律，F_N′=－F_N　 ，所以水对桶底的压力F_N′=2.6N，方向竖直向上。

⑵ 如图11所示为在轻杆约束下竖直平面内做圆周运动的小球过最高点的情况。

① 当v=0时，杆对球的支持力F_N = mg，此为过最高点临界条件。

② 当时，，F_N = 0

③ 当时，N为支持力，v增大，则F_N减小。

④ 当时，N为指向圆心的拉力，v增大，则F_N增大。

例5 　如图所示，杆长为L，球的质量为m，杆连球在竖直平面内绕轴O自由转动，已知在最高点处，杆对球的弹力大小为F=mg/2，求这时小球的瞬时速度大小？

解析 　小球所需向心力向下，本题中F=mg/2＜mg，所以弹力的方向可能向上也可能向下。

⑴ 若F向上，则　

⑵ 若F向下，则

6．离心运动

⑴ 定义：做匀速圆周运动的物体，在所受合力突然消失或者不足以提供圆周运动所需的向心力情况下，就做逐渐远离圆心的运动，这种运动叫做离心运动。

⑵ 本质：离心现象是物体惯性的表现。

⑶ 如图8所示：

① 向心力的作用效果是改变物体的运动方向，如果它们受到的合外力恰好等于物体所需的向心力，物体就做匀速圆周运动，此时，F=mrω² 。

② 如果向心力突然消失(例如小球转动时绳子突然断裂)，则物体的速度方向不再变化，由于惯性，物体将沿此时的速度方向(即切线方向)，按此时的速度大小飞出，这时F=0。

③ 如果提供的外力小于物体做匀速圆周运动所需的向心力，虽然物体的速度方向还要变化，但速度方向变化较慢，因此物体偏离原来的圆周做离心运动，其轨迹为圆周和切线间的某条线，如图9所示，这时，F<mrω²。

⑷ 离心运动的应用和危害

① 利用离心运动制成离心机械，例如离心干燥器、洗衣机的脱水筒和离心转速计等等。

② 在水平公路上行驶的汽车，转弯时所需的向心力是由车轮与路面间的静摩擦力提供的。如果转弯时速度过大，所需向心力F很大，大于最大静摩擦力F_max，汽车将做离心运动而造成交通事故。如图9所示。因此，在转弯处，为防止离心运动造成危害：一是限定车辆的转弯速度；二是把路面筑成外高内低的斜坡以增大向心力。

例3 　如图所示，一小球被一绳子牵引，在光滑水平的平板上以速度v做匀速圆周运动，半径R=30 cm，v=2.0 m/s。现将牵引的绳子迅速放长20 cm，使小球在更大半径的轨道上做匀速圆周运动，求：

(1) 实现这一过渡所经历的时间；

(2) 在新轨道上运动时，小球旋转的角速度。

思路　 本题关键是要弄清楚小球做圆周运动的轨道半径R′=30 cm变化为R′=30 cm+ 20 cm=50 cm的过程中小球的运动状态。

由题中“将牵引的绳子迅速放长20 cm”可知，在绳子放长过程中，绳子对球无作用力，进一步得到小球在绳子放长过程中所受合外力为零。因此，若从小球运动到A点开始放绳，则小球将沿A点的圆周切线方向做匀速直线运动，直到B点绳子再次张紧，如图所示。答案：(1) 0.2 s　 (2) 2.4 rad/s

5．航天器中的失重现象

飞船环绕地球做匀速圆周运动，当飞船距地面高度为一二百千米时，它的轨道半径近似等于地球半径R，航天员受到的地球引力近似等于他在地面测得的体重mg。除了地球引力外，航天员还可能受到飞船座舱对他的支持力F_N ，引力与支持力的合力为他提供了绕地球做匀速圆周运动所需的向心力F=，即

mg－F_N=　 也就是　 F_N=m(g－)

由此可以解出，当v=时，座舱对航天员的支持力F_N=0，航天员处于失重状态。

思考　 地球可以看作一个巨大的拱形桥，桥面的半径就是地球半径R(约为6400 km)。地面上有一辆汽车，重量是G=mg，地面对它的支持力是F_N 。汽车沿南北方向行驶，不断加速。如图7所示。会不会出现这样的情况：速度大到一定程度时，地面对车的支持力是零？这时驾驶员与座椅之间的压力是多少？驾驶员躯体各部分之间的压力是多少？他这时可能有什么感觉？

其实，这和飞船的情况相似，当汽车速度达到v=时(代数计算可得v=7.9×10³ m/s)，地面对车的支持力是零，这时汽车已经飞起来了，此时驾驶员与座椅间无压力。驾驶员、车都处于完全失重状态.驾驶员躯体各部分之间没有压力，他会感到全身都飘起来了。

4．飞机拐弯

飞机在空中拐弯时，其机翼是倾斜的，飞机受到竖直向下的重力和垂直于机翼的升力作用，其合力提供拐弯所需要的向心力。当拐弯速度比较大时，飞机的机翼倾斜角度增大，从而使重力与升力的合力增大。当拐弯速度比较小时，飞机的机翼倾斜角度减小，从而使重力与升力的合力减小。

3．汽车转弯

在水平公路上行驶的汽车，转弯时所需的向心力，是由车轮与路面间的静摩擦力f提供的，即，因为静摩擦力f最大不能超过最大摩擦力，故要求车子转弯时，车速不能太大和转弯半径不能太小。

思考　 在高速公路的拐弯处，路面造得外高内低是什么原因？

例2 　在高速公路的拐弯处，路面造得外高内低，即当车向右拐弯时，司机左侧的路面比右侧的高一些.路面与水平面间的夹角为θ，设拐弯路段是半径为R的圆弧，要使车速为v时车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零，θ应等于(　　　 )

A．arcsin 　　　　　　 　B．arctan　　 　C．arcsin　　 　　　 D．arccot

思路 　汽车在水平面内做圆周运动，如果路面是水平的，汽车做圆周运动的向心力只能由静摩擦力提供，如果外侧路面高于内侧路面一个适当的高度，也就是路面向内侧倾斜一个适当的角度θ，地面对车支持力的水平分量恰好提供车所需要的向心力时，车轮与路面的横向摩擦力正好等于零。在此临界情况下对车受力分析，明确汽车所受合外力的方向：水平指向圆心，然后由牛顿第二定律列方程求解。答案：B