326. 已知正方体ABCD-A′B′C′D′中,面对角线AB′、BC′上分别有两点E、F且B′E=C′F求证:EF∥平面AC.
解析: 如图,欲证EF∥平面AC,可证与平面AC内的一条直线平行,也可以证明EF所在平面与平面AC平行.
证法1 过E、F分别做AB、BC的垂线EM、FN交AB、BC于M、N,连接MN
∵BB′⊥平面AC ∴ BB′⊥AB,BB′⊥BC
∴EM⊥AB,FN⊥BC
∴EM∥FN,∵AB′=BC′,B′E=C′F
∴AE=BF又∠B′AB=∠C′BC=45°
∴RtΔAME≌RtΔBNF
∴EM=FN
∴四边形MNFE是平行四边形
∴EF∥MN又MN平面AC
∴EF∥平面AC
证法2 过E作EG∥AB交BB′于G,连GF
∴=
∵B′E=C′F,B′A=C′B
∴= ∴FG∥B′C′∥BC
又∵EG∩FG=G,AB∩BC=B
∴平面EFG∥平面AC
又EF平面EFG
∴EF∥平面AC
325. S是空间四边形ABCD的对角线BD上任意一点,E、F分别在AD、CD上,且AE∶AD=CF∶CD,BE与AS相交于R,BF与SC相交于Q.求证:EF∥RQ.
证 在ΔADC中,因AE∶AD=CF∶CD,故EF∥AC,而AC平面ACS,故EF∥平面ACS.而RQ=平面ACS∩平面RQEF,故EF∥RQ(线面平行性质定理).
324. 证明:过平面上一点而与这平面的一条平行线平行的直线,在这平面上.
证明 如图,设直线a∥平面α,点A∈α,A∈直线b,b∥a,欲证bα.事实上,∵b∥a,可确定平面β,β与α有公共点A,∴α,B交于过A的直线c,∵a∥α,∴a∥c,从而在β上有三条直线,其中b、c均过点A且都与a平行.于是b、c重合,即bα.
323. 如图,在正四棱锥S-ABCD中,P在SC上,Q在SB上,R在SD上,且SP∶PC=1∶2,SQ∶SB=2∶3,SR∶RD=2∶1.求证:SA∥平面PQR.
解析:根据直线和平面平行的判定定理,必须在平面PQR内找一条直线与AS平行即可.
证:连AC、BD,设交于O,连SO,连RQ交SO于M,取SC中点N,连ON,那么ON∥SA.
∵==
∴RQ∥BD
∴=而=
∴= ∴PM∥ON
∵SA∥ON.∴SA∥PM,PM平面PQR
∴ SA∥平面PQR.
评析:利用平几中的平行线截比例线段定理.
三角形的中位线性质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化.
322. 一直线分别平行于两个相交平面,则这条直线与它们的交线平行.
已知:α∩β=a,l∥α,l∥β.求证:l∥a.
解析:由线面平行推出线线平行,再由线线平行推出线面平行,反复应用线面平行的判定和性质.
证明:过l作平面交α于b.∵l∥α,由性质定理知l∥b.
过l作平面交β于c.∵l∥β,由性质定理知l∥c.
∴ b∥c,显然cβ.∴ b∥β.
又 bα,α∩β=a,∴ b∥a.
又 l∥b.
∴ l∥a.
评注:本题在证明过程中注意文字语言、符号语言,图形语言的转换和使用.
321. 如图,ABCD和ABEF均为平行四边形,M为对角线AC上的一点,N为对角线FB上的一点,且有AM∶FN=AC∶BF,求证:MN∥平面CBE.
解析:欲证MN∥平面CBE,当然还是需要证明MN平行于平面CBE内的一条直线才行.题目上所给的是线段成比例的关系,因此本题必须通过三角形相似,由比例关系的变通,才能达到“线线平行”到“线面平行”的转化.
证:连AN并延长交BE的延长线于P.
∵ BE∥AF,∴ ΔBNP∽ΔFNA.
∴ =,则=.
即 =.
又 =,=,
∴ =.
∴ MN∥CP,CP平面CBE.
∴ MN∥平面CBE.
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