2、教材所处地位、作用
函数的单调性是对函数概念的延续和拓展,也是后续研究几类具体函数的单调性的基础;此外在比较数的大小、函数的定性分析以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用。在方法上,教学过程中还渗透了数形结合、类比化归等数学思想方法。它是高中数学中的核心知识之一,在函数教学中起着承上启下的作用。
1、教材内容
本节课是人教版第二章《函数》第三节函数单调性的第一课时,该课时主要学习增函数、减函数的定义,以及应用定义解决一些简单问题。
函数单调性 |
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一、函数单调性概念 1、单调递增函数 2、单调递减函数 3、单调区间 (主板书) |
二、例题及解答 例1 例2 (副板书) |
议练活动 (辅助性板书) |
2、选做题: 课后练习7
1、必做题:课后练习1,4,6,
2、判定函数单调性:
(1)方法:图象法,定义法;
(2)定义法步骤:取值,作差变形,定号,下结论。
1、函数单调性的定义;
(1)课本P65页1,
(2)证明:函数在上是减函数。(动画演示帮助理解)
课堂思考:
函数 |
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单调区间 |
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单调性 |
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课后思考:
函数在R上单调递增,那么,的符号有什么规律?若单调递减,又该如何?
(三)定义应用:
例1、下图是定义在[-5,5]上的函数的图象,根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,是增函数还是减函数。
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分析:动画演示,帮助学生理解。
解:的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]。
其中在[-5,-2),[1,3)上是减函数;
在[-2,1), [3,5)上是增函数。
强调单调区间的写法:
问题6:可否写成[-5,-2)U[-2,1)?
问题7:写成[-5,-2)还是写成[-5,-2]?
多媒体展示构造反例说明:
(1)单调区间一般不能求并集;
(2)当端点满足单调性定义时,可开可闭。
例2、试判断函数 在区间(0,+∞)上是增函数还是减函数?并给予证明。
分析:问1:除了图象法判定函数单调性还有什么方法?
2:如何用定义法判定函数单调性?
3:用定义判定函数单调性的关键是什么?(提示如何比较3和2的大小,从而引入作差法)
证明:函数 在(0,+∞)上是增函数
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则
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则,即:
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总结定义法证明函数单调性的步骤:
1、取值:设任意属于给定区间,且;
2、作差变形:变形的常用方法:因式分解、配方、有理化等;
3、定号:确定的正负号;
4、下结论:由定义得出函数的单调性。
思考题:
在上面证明中,你能理解的任意性的意义吗?
解答:有了“任意性”在区间内不管取哪两个值,其证明过程都是一样的。
(二)建构定义:
1、引入直观性定义:
观察下列函数的图象,由学生讨论交流并回答下列问题(几何画板动态展示)
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问题3:这两个函数图象有怎样的变化趋势?(上升?下降?)
问题4:函数在区间 内y随x的增大而增大,在区间 内
y随x的增大而减小;
总结到一般情况下:
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在区间D内 |
在区间D内 |
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图象 |
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教师说明直观性定义:称左边的函数在区间D上单调递增函数,右边的函数则称为区间I上单调递减函数。
2、严格数学语言定义:
多媒体展示:图象在区间D内呈上升趋势
当x的值增大时,函数值y也增大
区间内有两个点、,当时,有
问题5:若区间内有两点时,有,能否推出是单调递
增函数?
构造反例,动画演示,引导学生对自变量取值的“任意性”的深刻理解。
定义:一般地,设函数的定义域为I:
如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值,当时,都有,那么就说函数在区间上是单调递增函数。
由学生类比得到减函数的定义:
如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值,当时,都有,那么就说函数在区间上是单调递减函数。
注:
(1)三大特征:①属于同一区间;②任意性;③有大小:通常规定;
(2)相对于定义域,函数的单调性可以是函数的局部性质。
举例:在上是单调增函数,但在整个定义域上不是增(减)函数。
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