2.已知集合A={x|x2-5x+6≤0},集合B={x||2x-1|>3},则集合A∩B等于( )
A.{x|2≤x≤3} B.{x|2≤x<3}
C.{x|2<x≤3} D.{x|-1<x<3}
解析:A={x|2≤x≤3},B={x|x<-1或x>2},故A∩B={x|2<x≤3}.
答案:C
1.不等式x2<1的解集为( )
A.{x|-1<x<1} B.{x|x<1}
C.{x|x>-1} D.{x|x<-1或x>1}
答案:A
2.设x1、x2是区间D上的任意两点,若函数y=f(x)满足f()≤成立,则称函数y=f(x)在区间D上下凸.
(1)证明:函数f(x)=x+在区间(0,+∞)上下凸;
(2)若函数y=f(x)在区间D上下凸,则对任意的x1,x2,…,xn∈D有f()≤.试根据下凸函数的这一性质,证明:若x1,x2,…,xn∈(0,+∞),则(x1+x2+…+xn)(++…+)≥n2.
证明:(1)设x1>0,x2>0,则f()-[f(x1)+f(x2)]=+-(x1++x2+)=-(+)==≤0,
∴f()≤[f(x1)+f(x2)].由定义可知f(x)=x+在区间(0,+∞)上下凸.
(2)由(1)可知f(x)=x+在(0,+∞)上下凸,根据性质,有+
≤,∴≤(++…+),*
∵x1,x2,…,xn∈(0,+∞),∴x1+x2+…+xn>0,
故*式可化为(x1+x2+…+xn)(++…+)≥n2.
1.(2009·全国Ⅱ)设a=lg e,b=(lg e)2,c=lg ,则( )
A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a
解析:0<lg e<1,即0<a<1;b=(lg e)2=a2<a;c=lg =lg e=a<a,
又b=(lg e)2<lg ·lg e=lg e=c,因此b<c<a.
答案:B
10.设a>0,且a≠1,P=loga(a3-1),Q=loga(a2-1),试比较P与Q的大小.
解答:∵P=loga(a3-1),Q=loga(a2-1),∴a>0,a3-1>0,a2-1>0,∴a>1.
又∵(a3-1)-(a2-1)=a2(a-1)>0,∴a3-1>a2-1,∴loga(a3-1)>loga(a2-1).即P>Q.
9.设m∈R,a>b>1,f(x)=,比较f(a)与f(b)的大小.
解答:f(a)-f(b)=-=.
∵a>b>1,∴b-a<0,a-1>0,b-1>0,∴<0.
当m>0时,<0,f(a)<f(b);
当m<0时,>0,f(a)>f(b);
当m=0时,=0,f(a)=f(b).
8.设a、b∈(0,+∞),且a≠b,比较+与a+b的大小.
解答:作差+-(a+b)=(a3-b3)=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2),
∵a、b∈(0,+∞)且a≠b,∴a+b,(a-b)2,(a2+ab+b2),均为正数.
∴(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)>0,∴+>a+b.
7.a、b、c、d均为实数,使不等式>>0和ad<bc都成立的一组值(a,b,c,d)是________.(只要写出适合条件的一组值即可)
解析:本题为开放题,只要写出一个正确的即可,如(2,1,-3,-2).
答案:(2,1,-3,-2)
6.设a>1且m=loga(a2+1),n=loga(a-1),p=loga(2a),则m、n、p的大小关系为________.
解析:∵a2+1>2a(a>1),∴loga(a2+1)>loga(2a).
又∵a-1-2a=-a-1<0,∴a-1<2a,∴loga(a-1)<loga2a.∴m>p>n.
答案:m>p>n
5.下列四个不等式:①a<0<b;②b<a<0;③b<0<a;④0<b<a.其中能使<成立的充分条件有______.
解析:<⇔<0⇔b-a与ab异号,①②④能使b-a与ab异号.
答案:①②④
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