3.设a、b、c是互不相等的正数,则下列不等式中不恒成立的是( )
A.|a-b|≤|a-c|+|b-c| B.a2+≥a+
C.|a-b|+≥2 D.-≤-
解析:解法一:当a-b=-1时,|a-b|+=0,故不等式|a-b|+≥2不一定成立.
解法二:|a-b|=|(a-c)-(b-c)|≤|a-c|+|b-c|;
a2+≥a+⇔(a+)2-(a+)-2≥0⇔(a+-2)·(a++1)≥0.
由a>0,显然a+≥2,所以不等式成立;-≤-⇔≤,则不等式显然成立.
答案:C
2.设a∈(0,1),则关于x的不等式|x-logax|<|x|+|logax|的解集为( )
A.(0,a) B.(0,1)
C.(0,+∞) D.(-∞,0)∪(1,+∞)
解析:根据绝对值不等式性质.xlogax>0⇔即0<x<1(0<a<1).
答案:B
1.不等式(1+x)(1-|x|)>0的解集为( )
A.{x|0≤x<1} B.{x|x<0且x≠-1}
C.{x|-1<x<1} D.{x|x<1且x≠-1}
解析:不等式可化为或
∴0≤x<1或x<0且x≠-1.∴x<1且x≠-1.
答案:D
2.在△ABC中,a,b,c分别是角A、B、C的对边,S是其面积.
求证:a2+b2+c2≥4·S.
证明:根据余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,S=bcsin A,
于是有a2+b2+c2-4S=2(b2+c2)-2bccos A-4·bcsin A=2(b2+c2)-2bc(cos A+sin A)=2(b2+c2)-4bcsin(A+30°)≥2(b2+c2)-4bc=2(b-c)2≥0,
∴a2+b2+c2≥4S.
1.若0<a1<a2,0<b1<b2,且a1+a2=b1+b2=1,则下列代数式中值最大的是( )
A.a1b1+a2b2 B.a1a2+b1b2 C.a1b2+a2b1 D.
解析:(a1b1+a2b2)-(a1b2+a2b1)=a1(b1-b2)+a2(b2-b1)
=(a1-a2)(b1-b2)>0,则a1b1+a2b2>a1b2+a2b1;
a1a2+b1b2≤2+2=,又a1<a2,b1<b2,则a1a2+b1b2<;
(a1+a2)(b1+b2)=a1b1+a1b2+a2b1+a2b2<2(a1b1+a2b2)
即2(a1b1+a2b2)>1,∴a1b1+a2b2>.
答案:A
10.已知x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,
求证:(-1)(-1)(-1)>8.
证明:(-1)(-1)(-1)=··>8=8.
9.已知x>0,y>0,x+y=1,求证:x4+y4≥.
证明:∵x>0,y>0,x+y=1,∴x2+y2≥2xy,两边同加上x2+y2得,2(x2+y2)≥(x+y)2=1.
又x4+y4≥2x2y2,两边同加上x4+y4得,2(x4+y4)≥(x2+y2)2≥,∴x4+y4≥.
8.设x∈R+且x2+=1,求x的最大值.
解答:∵x>0,∴x2+(+)=(x2+)+=
而x =·≤
∴x ≤(·)=即(x )max=.
7.已知a>0,b>0,且2b+ab+a=30,则ab的最大值为________.
解析:∵a>0,b>0,∴2b+a≥2,又2b+ab+a=30,∴2+ab≤30,即ab+2-30≤0,解得≤3,即ab≤18,当且仅当2b=a,即a=6,b=3时等号成立,则ab的最大值为18.
答案:18
6.(2009·潍坊质检)设a>b>c,且+≥恒成立,则m的取值范围是________.
解析:∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,a-c>0.又(a-c)=[(a-b)+(b-c)]×≥2 ·2=4.当且仅当a-b=b-c且= ,即a+c=2b时,等号成立.∴m≤4.
答案:m≤4
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