3．设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是(　)

A．|a－b|≤|a－c|+|b－c|　 　　　　 B．a²+≥a+

C．|a－b|+≥2　 　　　　　　 D.－≤－

解析：解法一：当a－b＝－1时，|a－b|+＝0，故不等式|a－b|+≥2不一定成立．

解法二：|a－b|＝|(a－c)－(b－c)|≤|a－c|+|b－c|；

a²+≥a+⇔(a+)²－(a+)－2≥0⇔(a+－2)·(a++1)≥0.

由a＞0，显然a+≥2，所以不等式成立；－≤－⇔≤，则不等式显然成立．

答案：C

2．设a∈(0,1)，则关于x的不等式|x－log_ax|＜|x|+|log_ax|的解集为(　)

A．(0，a)　 　　　　　　 B．(0,1)

C．(0，+∞)　 　　　　 D．(－∞，0)∪(1，+∞)

解析：根据绝对值不等式性质．xlog_ax＞0⇔即0＜x＜1(0＜a＜1)．

答案：B

1．不等式(1+x)(1－|x|)＞0的解集为(　)　

A．{x|0≤x＜1}　 　　　　　　　　 B．{x|x＜0且x≠－1}

C．{x|－1＜x＜1}　 　　　　 D．{x|x＜1且x≠－1}

解析：不等式可化为或

∴0≤x＜1或x＜0且x≠－1.∴x＜1且x≠－1.

答案：D

2．在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，S是其面积．

求证：a²+b²+c²≥4·S.

证明：根据余弦定理，得a²＝b²+c²－2bccos A，S＝bcsin A，

于是有a²+b²+c²－4S＝2(b²+c²)－2bccos A－4·bcsin A＝2(b²+c²)－2bc(cos A+sin A)＝2(b²+c²)－4bcsin(A+30°)≥2(b²+c²)－4bc＝2(b－c)²≥0，

∴a²+b²+c²≥4S.

1．若0＜a₁＜a_2,0＜b₁＜b₂，且a₁+a₂＝b₁+b₂＝1，则下列代数式中值最大的是(　)

A．a₁b₁+a₂b₂　 　B．a₁a₂+b₁b₂ 　　C．a₁b₂+a₂b₁　 　D.

解析：(a₁b₁+a₂b₂)－(a₁b₂+a₂b₁)＝a₁(b₁－b₂)+a₂(b₂－b₁)

＝(a₁－a₂)(b₁－b₂)＞0，则a₁b₁+a₂b₂＞a₁b₂+a₂b₁；

a₁a₂+b₁b₂≤²+²＝，又a₁＜a₂，b₁＜b₂，则a₁a₂+b₁b₂＜；

(a₁+a₂)(b₁+b₂)＝a₁b₁+a₁b₂+a₂b₁+a₂b₂＜2(a₁b₁+a₂b₂)

即2(a₁b₁+a₂b₂)＞1，∴a₁b₁+a₂b₂＞.

答案：A

10．已知x，y，z是互不相等的正数，且x+y+z＝1，

求证：(－1)(－1)(－1)＞8.

证明：(－1)(－1)(－1)＝··＞8＝8.

9．已知x>0，y>0，x+y＝1，求证：x⁴+y⁴≥.

证明：∵x>0，y>0，x+y＝1，∴x²+y²≥2xy，两边同加上x²+y²得，2(x²+y²)≥(x+y)²＝1.

又x⁴+y⁴≥2x²y²，两边同加上x⁴+y⁴得，2(x⁴+y⁴)≥(x²+y²)²≥，∴x⁴+y⁴≥.

8．设x∈R⁺且x²+＝1，求x的最大值．

解答：∵x>0，∴x²+(+)＝(x²+)+＝

而x ＝·≤

∴x ≤(·)＝即(x )_max＝.

7．已知a＞0，b＞0，且2b+ab+a＝30，则ab的最大值为________．

解析：∵a＞0，b＞0，∴2b+a≥2，又2b+ab+a＝30，∴2+ab≤30，即ab+2－30≤0，解得≤3，即ab≤18，当且仅当2b＝a，即a＝6，b＝3时等号成立，则ab的最大值为18.

答案：18

6．(2009·潍坊质检)设a＞b＞c，且+≥恒成立，则m的取值范围是________．

解析：∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0.又(a－c)＝[(a－b)+(b－c)]×≥2 ·2＝4.当且仅当a－b＝b－c且＝　 ，即a+c＝2b时，等号成立．∴m≤4.

答案：m≤4