2.在学生回答问题的基础上引出各种不同类型的函数增长模型．

1.介绍第三章章头图，提出问题．

问题1：澳大利亚的兔子为什么能在短短的几十年中由5只发展到5亿只？

澳大利亚兔子的急剧增长反映了自然界中一种增长现象：指数增长.

问题2：在生活中，你还能举出其它增长的例子吗？

要让学生较为全面地体会函数模型的思想，特别是本节例题中用函数模型研究实际问题有许多数据、图象等方面处理上的困难，而利用信息技术工具，就可以在不同的范围观察到指数函数、对数函数和幂函数的增长差异．这样，就使学生有机会接触到一些过去难以接触到的数学知识和思想方法．因此在本节内容教学的处理上，通过学生收集数据并建立函数模型， 利用计算器和计算机，比较指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．

学生在前面已学过函数概念、指数函数、对数函数、幂函数，但由于指数函数、对数函数和幂函数的增长变化复杂，这就使得学生在研究过程中可能遇到困难．因此本节课教学难点确定为：如何结合实际问题让学生体会不同函数模型的增长差异，以及如何利用这种增长差异来解决一些实际问题．

为了解决这一难点，教科书分三个步骤，创设问题情境，并通过恰点恰时而又层层递进的问题串，让学生在不断的观察、思考和探究的过程中，弄清几个函数间的增长差异，并培养分析问题解决问题的能力．第一步，教科书先创设了一个选择投资方案的问题情境，在解决问题的过程中给出了解析式、数表和图象三种表示，然后提出了三个思考问题，让学生一方面从中体会直线上升和指数爆炸，另一方面也学会如何选择恰当的表示形式对问题进行分析．第二步，教科书又创设了一个选择公司奖励模型的问题情境，让学生在观察和探究的过程中，体会到对数增长模型的特点．第三步，教科书提出了三种函数存在怎样的增长差异的问题．先让学生从不同角度观察指数函数和幂函数的增长图象，从中体会二者的差异；再通过两个探究问题，让学生对幂函数和对数函数的增长差异，以及三种函数的衰减情况进行自主探究．这样的安排内容上层次分明，可以引导学生从不同的方面积极地开展观察、思考和探究活动，对典型的问题，多视点宽角度地进行了研究．对学生分析问题、解决问题能力的培养将有积极的推动．由于本节内容比较丰富，而且研究问题的方法和途径也比较多，所以本节课我们只能重点解决其中的前两个问题．

本节课的教学任务为：

　　 (1)创设一个投资方案的问题情境，让学生通过函数建模、列数据表、研究函数图象和性质，体会直线上升和指数爆炸；

　　 (2)创设一个选择奖励模型的问题情境，让学生在观察和探究的过程中，体会对数增长模型的特点；

　　 (3)通过建立和运用函数基本模型，让学生初步体验数学建模的基本思想，发展学生的创新意识和数学应用意识.

根据内容解析和教学任务，本节课的教学目标确定为：

　　 (1)通过实例的解决，运用函数表格、图象，比较一次函数、指数型函数以及对数函数模型等的增长，认识它们的增长差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义；

　　 (2)通过恰当地运用函数的三种表示方法(解析法、列表法、图象法)，表达实际问题中的函数关系的操作，认识函数问题的研究方法：观察-归纳-猜想-证明；

　　 (3)经历建立和运用函数基本模型的过程，初步体验数学建模的基本思想，体会数学的作用与价值，培养分析问题、解决问题的能力.

这部分内容教科书在处理上，以函数模型的应用这一内容为主线，以几个重要的函数

模型为对象，将前面已经学习过的内容以及处理问题的思想方法紧密结合起来，使之成为一个整体．因此教学中应当注意贯彻教材的设计意图，让学生经历函数模型应用的全过程，能在这一过程中认识不同增长的差异，认识知晓函数增长差异的作用，认识研究差异的思想方法．

结合以上分析本节课的教学重点为：将实际问题转化为数学模型，在比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型增长差异的过程中，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型函数增长的含义．

本节是高中数学必修1(人教A版)第三章《函数的应用》的起始课．该课将经历运用和选择函数模型解决实际问题的过程，从而认识在同为增函数的函数模型中，各种函数存在增长的差异；理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义；认识研究函数增长(衰减)差异的方法；感受数学建模的思想．

对不同函数模型在增长差异上的研究，教材围绕函数模型的应用这一核心，结合具体实例展开讨论，让学生在应用函数模型的过程中，体验到指数函数、对数函数、幂函数等函数模型在描述客观世界变化规律时各自的特点．

教材运用自选投资方案和制定奖励方案这两个问题，引出函数模型增长情况比较的问题，接着运用信息技术从数值和图象两个角度比较了指数函数、对数函数、幂函数的增长情况的差异，说明不同函数类型增长的含义．

在必修1前两章，教材安排了函数的性质以及基本初等函数．本节内容是几类不同增长的函数模型，在此之后是研究函数模型的应用，因此，从内容上看，本节课是对前面所学习的几种基本初等函数以及函数的性质的综合应用，从思想方法上讲，是对研究函数的方法的进一步巩固和深化，同时，也在为后面继续学习各种不同的函数模型的应用举例奠定基础，．因此本节内容，既是第二章基本初等函数知识的延续，又是函数模型应用学习的基础，起着承前启后的作用.

本节内容所涉及的数学思想方法主要包括：由实际问题抽象为函数模型这一过程中蕴涵的符号化、模型化的思想；在解决问题过程中函数与方程的思想．

教科书提供了两个值得研究的例题,在备课中感到内涵丰富、寓意深刻、层次不同！例1是先建立函数模型，然后体会增长差异；例2是提供了函数模型，要求按限制条件作出选择．因此例1的教学设计，注重让学生经历感性体验过程:首先通过设计问题，引发学生讨论交流，经历建立函数模型的过程，然后倡导学生合作探究、动手实践，从列表、作图入手，对三种函数模型进行比较、分析，感受直线上升和指数爆炸的意义．在此基础上教师引导学生分析增加量，尽可能利用现代信息技术来呈现函数的动态变化过程，帮助学生体会它们的增长差异．而例2的教学设计，则更重视引导学生进行理性分析，从观察、归纳，上升到猜想、证明，然后适当拓展延伸，设计开放性问题，既检测学生对几类不同增长模型差异的掌握情况，又激发学生的创新意识与应用意识，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程．

在课堂教学设计的过程中，围绕三维教学目标，力争体现下列“六个特色”：

(1)立意高，以学生的终身发展为本设计教学，重视对学生进行德育渗透；通过激发学生的学习热情，培养学生学习兴趣.

(2)活动多，注意发挥学生学习的主动性，重视学生合作交流.整堂课呈现出讨论多、交流多、合作多、发现多、成果多.

(3)基础实，本节课的落脚点是函数知识与方法，从函数的三种表示方法入手，加深对函数的图象与性质尤其是增长的差异性的认识.

(4)思维活，重视学生的思维活动的开展，鼓励学生发散思维，多角度观察、分析和解决问题，逐步提高思维的品质.

(5)实践强，让学生积极参与数学建模的实践活动，亲身体验数学应用、发现和创造的历程.

(6)有创新，设计问题具有开放性与挑战性，注重方案的最优化，鼓励学生创新，倡导“学以致用，用以致优” ！

通过本节课的学习，学生不仅能够正确认识几种不同函数模型的增长差异，而且更重要的是可以系统经历研究解决实际问题的全过程，并在过程中进一步加深对函数的概念的认识，理解不同函数增长的差异，学会研究问题的方式方法，培养了学生的应用意识，提高学生解决问题的能力.

学生在前面已学过的函数概念、指数函数、对数函数、幂函数，但由于指数函数、对数

函数和幂函数的增长变化复杂，这就使得学生在研究过程中可能遇到困难．因此本节课教学难点确定为：如何结合实际问题让学生体会不同函数模型的增长差异，以及如何利用这种增长差异来解决一些实际问题．

为了解决这一难点，教科书分三个步骤，创设问题情景，并通过恰点恰时而又层层递进的问题串，让学生在不断的观察、思考和探究的过程中，弄清几个函数间的增长差异，并培养分析问题解决问题的能力．第一步，教科书先创设了一个选择投资方案的问题情景，在解决问题的过程中给出了解析式、数表和图象三种表示，然后提出了三个思考问题，让学生一方面从中体会直线上升和指数爆炸，另一方面也学会如何选择恰当的表示形式对问题进行分析．第二步，教科书又创设了一个选择公司奖励模型的问题情景，让学生在观察和探究的过程中，体会到对数增长模型的特点．第三步，教科书提出了三种函数存在怎样的增长差异的问题．先让学生从不同角度观察指数函数和幂函数的增长图象，从中体会二者的差异；再通过两个探究问题，让学生对幂函数和对数函数的增长差异，以及三种函数的衰减情况进行自主探究．这样的安排内容上层次分明，可以引导学生从不同的方面积极地开展观察、思考和探究活动，对典型的问题，多视点宽角度地进行了研究．对学生分析问题、解决问题能力的培养将有积极的推动．由于本节内容比较丰富，而且研究问题的方法和途径也比较多，所以本节课我们只能重点解决其中的前两个问题。

本节课的教学任务为：

(1)创设一个投资方案的问题情景，让学生通过函数建模、列数据表、研究函数图象和性质，体会直线上升和指数爆炸；

(2)创设一个选择奖励模型的问题情景，让学生在观察和探究的过程中，体会对数增长模型的特点；

(3)通过建立和运用函数基本模型，让学生初步体验数学建模的基本思想，发展学生的创新意识和数学应用意识.

结合以上任务分析，本节课的教学目标应确定为：

(1)利用函数图象及数据表格，并借助信息技术，能比较一次函数、指数型函数以及对数函数模型等的增长，认识它们的增长差异；通过实例的解决体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义；

(2)恰当运用函数的三种表示方法(解析法、列表法、图象法)，表达实际问题中的函数关系，认识函数问题的研究方法(观察-归纳-猜想-证明)；

(3)经历建立和运用函数基本模型的过程，初步体验数学建模的基本思想，能够体会数学的作用与价值，初步形成分析问题、解决问题的能力.

这部分内容教科书在处理上，以函数模型的应用这一内容为主线，以几个重要的函数

模型为对象，将前面已经学习过的内容以及处理问题的思想方法紧密结合起来，使之成为一个系统的整体．因此教学中应当注意贯彻教科书的这个意图，让学生经历函数模型应用处理的完整过程，同时在过程中认识不同增长的差异。

结合以上分析本节课的教学重点为：将实际问题转化为数学模型，在比较常数函数、一

次函数、指数函数、对数函数模型增长差异的过程中，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型函数增长的含义．

本节课是高中数学(必修1人教A版)第三章中《几类不同增长的函数模型》的第一课时.

比较指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义，是本章的一个重要内容．

对不同函数模型在增长差异上的研究，教科书围绕函数模型的应用这一核心，结合具体实例展开讨论，让学生在应用函数模型的过程中，体验到指数函数、对数函数、幂函数等函数模型在描述客观世界变化规律时各自的特点．

教科书运用选自投资方案和制定奖励方案两个问题，引出函数模型增长情况比较的问题，接着运用信息技术从数值和图象两个角度比较了指数函数、对数函数、幂函数的增长情况的差异，说明了不同函数类型增长的含义。

在前两章，教材安排了函数的性质以及基本初等函数，本节内容是几类不同增长的函数模型，在此之后是研究函数模型的应用，因此本节内容的研究从内容上看，是对前面所学习的几种基本初等函数以及函数的性质的综合应用，从思想方法上讲是对研究函数的方法的进一步巩固和深化，同时为后面继续学习各种不同的函数模型的应用举例奠定基础。因此本节内容，既是第二章基本初等函数知识的延续，又是函数模型应用学习的基础，起着承前启后的作用.

本节内容所涉及的数学思想方法主要包括：由实际问题抽象为函数模型这一过程中蕴涵的符号化、模型化的思想；在解决问题过程中函数与方程的思想。